Хороших необходимых и достаточных условий вроде бы неизвестно. Зато известны неулучшаемые оценки на собственные значения

, и из них можно получить нетривиальные достаточные условия для положительной определенности.
Смотрите, например, W. Gilbert Strang, Eigenvalues of Jordan Products, The American Mathematical Monthly, 69, 1, 1962, 37-40, а также
D.W. Nicholson, Eigenvalue bounds for AB+BA, with A,B positive definite matrices, статья
легко доступна в интернете тут.
Надеюсь, это сможет помочь.