Элементарная геометрия 2

[Phaenomenon]

Доброго времени суток. Думаю, задача стоит вашего внимания. Хотелось бы с ней разобраться.

Периметр прямоугольного треугольника $\triangle ABC ( \angle C=90^{\circ}) = 72$ ,а разность между длинами медианы $CK$ и высоты $CM$ равна $7$ см. Найти длину гипотенузы.

ps:
кому необходим рисунок

[cool.phenon]

Простая система уравнений с 2 неизвестными, ничего особенного. Стороны за $x,y$, а потом по известным всем формулам выписываем объявленные элементы : гипотенузу, медиану, высоту

[Phaenomenon]

cool.phenon в сообщении #919296 писал(а):

Простая система уравнений с 2 неизвестными, ничего особенного. Стороны за $x,y$, а потом по известным всем формулам выписываем объявленные элементы : гипотенузу, медиану, высоту

Не то чтобы это не один из способов решения задачи, но просто я имел в виду немного другое. Именно такой способ прямой подстановки уже известных формул и дальнейшими алгебраическими преобразованиями не рационален с точки зрения геометрии. Не неверен, но не рационален.
Но это хоть что-то

$AB = x , BC = y , AC = c ; m_{c} - h_{c}=7 $, где $h_{c}=\frac{ xy }{ c } , m_{c} = \frac{ c }{ 2 } $

$$\frac{ c }{ 2 } - \frac{ xy }{ c } = 7$$

$$\frac{ (c-14)-2xy}{ 2} = 0$$

$$c=14$$

Ответ неверный. Почему такой способ не подходит?

[cool.phenon]

Потому что к общему знаменателю надо правильно приводить, и еще одно уравнение с периметром здесь никак не вошло

[gris]

Не подходит способ решения уравнения. Откуда взялся такой ответ?
А способ достаточно рационален. Только надо идти в правильном направлении.
Вы не использовали периметр. А ведь получается, что $x+y=72-c$. Возводим в квадрат, применяем теорему Пифагора и выражаем произведение катетов через гипотенузу. Подставляем это дело в получившееся уже у Вас уравнение и получаем квадратное уравнение относительно $c$

-- Чт окт 16, 2014 20:40:40 --

А, вот уже и подсказали:-)

[Phaenomenon]

cool.phenon в сообщении #919650 писал(а):

Потому что к общему знаменателю надо правильно приводить, и еще одно уравнение с периметром здесь никак не вошло

Перепроверил уравнение еще раз -- ошибок не нашел. Я просто не стал загромождать сообщение полной росписью уравнения (собственно, в этом и нет необходимости). Тоже удивило то, что данные с периметром никуда не вошли, но это не доказывает неверное решение задачи, как, например, ответ в конце учебника
Так в чем же ошибка, почему так нельзя? Да и если нельзя, то как можно и нужно?

[gris]

А можно просто подставить $c=14$ в Ваше уравнение и увидеть, что в этом случае произведение катетов равно нулую А как же такое может быть?

[Phaenomenon]

gris в сообщении #919658 писал(а):

А можно просто подставить $c=14$ в Ваше уравнение и увидеть, что в этом случае произведение катетов равно нулую А как же такое может быть?

Тогда можно оставить формулу, приведенную мной, но искать $x$ и $y$ уже по Вашему замечанию?

[gris]

А зачем икать $x$ и $y$, если надо найти $c$?
Тут наверняка можно поискать решение через подобие треугольников, или чисто геометрическое, достроив фигуру отражением относительно центра гипотенузы.

[Shtorm]

cool.phenon в сообщении #919650 писал(а):

Потому что к общему знаменателю надо правильно приводить,

Phaenomenon в сообщении #919654 писал(а):

Перепроверил уравнение еще раз -- ошибок не нашел.

Phaenomenon в сообщении #919648 писал(а):

$$\frac{ c }{ 2 } - \frac{ xy }{ c } = 7$$

$$\frac{ (c-14)-2xy}{ 2} = 0$$

Вы неправильно сократили $c$ в числителе и в знаменателе. В числителе вообще не было общего множителя для трёх слагаемых.

[Phaenomenon]

Shtorm в сообщении #919693 писал(а):

Вы неправильно сократили $c$ в числителе и в знаменателе. В числителе вообще не было общего множителя для трёх слагаемых.

Да, только что обратил внимание, что неправильно записал сюда решение. Конечно же в знаменателе $2c$ и $с$ в числителе, но, к счастью, ответа она не меняет.

[Shtorm]

Phaenomenon, ну так Вы нашли верное решение?