Сходимость ряда.

[Alex1234]

Дан ряд: $a_{n} = \frac{\sqrt[3]{\frac23n^4+\frac14\sqrt[4]{n}}}{\sqrt[4]{|-6\sqrt[3]{n}+\frac23\sqrt{n}|}}$
Необходимо определить, сходится он или нет. Пробовал по признаку Даламбера и Коши, но пределы получаются равными единице. Если использовать признак сравнения, то с каким рядом в данном случае нужно сделать сравнение?

[ИСН]

C рядом из единиц, например.

[RIP]

В подобных рядах нужно просто посмотреть, кто "главный". Возьмём числитель. Под корнем стоит $\frac23n^4+\frac14\sqrt[4]n$. Понятно, что второе слагаемое — мелочь по сравнению с первым. Вот и выносите "главное" слагаемое (достаточно только $n^4$, без коэффициента) за скобки, как Вас учили в пределах. Получится $n^4\cdot\left(\frac23+\frac1{4n^{4-1/4}}\right)$. Второй сомножитель имеет конечный положительный предел, а первый сомножитель "определяет скорость, с которой растёт всё выражение". (Используя эквивалентность, это можно записать очень компактно: $\frac23n^4+\frac14\sqrt[4]n\sim\frac23n^4$, — но если с эквивалентностями Вы не очень свободно обращаетесь, то лучше не рисковать.) Теперь проделайте то же самое со знаменателем, и поймёте, с чем нужно сравнивать. Причём даже угадывать не придётся.

[Alex1234]

Большое спасибо)

[Rahmonov]

Надо проверить необходимые условия сходимости ряда. Так по проши. Ну и почти всегда предлагаю, проверить с помощью необходимые условии а потом достаточный (такие как признаки сравнения, признак Даламбера, признак Раабе, признак Коши и т.д.).
Необходимый условия сходимости ряда

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}a_n = 0$$