2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти сумму ряда
Сообщение17.10.2014, 17:48 


11/07/14
132
Найти сумму ряда $$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}.$$

Не знаю почему, но тему переместили в карантин. Я умею такое решать. Просто интересуют разные подходы.

Я решал так: $$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)+\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1}.$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)=\sum_{k=0}^{\infty} \int\limits_0^1 (x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx=\int\limits_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}(x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx = \int\limits_0^1 \frac{1-2x}{1-x^3}\, dx.$$
В общем, в таком духе. Ответ получился $\dfrac{\pi \sqrt3}{12}-\dfrac{1}{4}\ln3.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение17.10.2014, 17:55 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Найдите замкнутое выражение для $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^{3k+3}}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)},$ решив дифференциальное уравнение $f'''(x)=\frac{1}{1-x^3}$, и вычислите $f(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.10.2014, 18:12 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Тема не соответствует разделу. Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения при необходимости дальнейшего обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.10.2014, 00:32 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение19.10.2014, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dmitry Tkachenko в сообщении #919904 писал(а):
$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)+\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1}.$$
Оба ряда в правой части расходятся.
Dmitry Tkachenko в сообщении #919904 писал(а):
$$\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)=\sum_{k=0}^{\infty} \int\limits_0^1 (x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx=\int\limits_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}(x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx = \int\limits_0^1 \frac{1-2x}{1-x^3}\, dx.$$
Последний интеграл тоже расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение20.10.2014, 06:34 


11/07/14
132
Someone, да, прошу прощения, там нельзя было скобки расставлять.

В общем надо всё это под одну скобку и интеграл один посчитать от всей этой штуки.

maxal, интересно, спасибо! В обоих способах считать интегралы не хочется, но, похоже, другого нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение20.10.2014, 07:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dmitry Tkachenko в сообщении #921122 писал(а):
В обоих способах считать интегралы не хочется, но, похоже, другого нет.

Нужно совсем не эти интегралы считать. Там ведь не просто дифференциальное уравнение $f'''(x)=\frac1{1-x^3}$, а ещё и нулевые начальные условия. Поэтому решением будет $f(x)=\int\limits_0^xdy\int\limits_0^ydz\int\limits_0^zdt\cdot\frac1{1-t^3}$. Такой тройной интеграл стандартно сворачивается в однократный, который после подстановки в него $x=1$ станет совсем простеньким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение20.10.2014, 08:29 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
См. тему «Ряд». К сожалению, вместо наиболее общих формул, выведенных участником Александр Т., сейчас отображается надпись Hack attempt! (в связи с использованием команды \operatorname, если я правильно помню). Но их код все еще можно посмотреть, нажав кнопку Цитата внизу интересующего Вас сообщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение22.10.2014, 06:08 


11/07/14
132
ewert, я не понимаю, что Вы имеете в виду под "стандартно сворачивается". Там же при первом интегрировании уже логарифмы появляются.

$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} +\dfrac{1}{3k+3}\bigg).$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} +\dfrac{1}{3k+3}\bigg)=\sum_{k=0}^{\infty} \int\limits_0^1 (x^{3k}-2x^{3k+1}+x^{3k+3})\, dx.$$
Тут нужно объяснить, почему можно поменять местами знак суммы и интеграла. И это единственная важная деталька.
Я таким способом решил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение24.10.2014, 02:19 


11/07/14
132
У меня опечатка: там в нижней формуле последнее слагаемое $x^{3k+2}.$
maxal в сообщении #919908 писал(а):
решив дифференциальное уравнение $f'''(x)=\frac{1}{1-x^3}$

Объясните пожалуйста, как это делать. Ведь, если интегрировать, уже после первого раза логарифмы появляются, а дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение24.10.2014, 05:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Рассмотрите для начала $f(x)=\int\limits_0^xdz\int\limits_0^zdt\cdot\frac1{1-t^3}$ и поменяйте порядок интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.10.2014, 19:31 


11/07/14
132
ewert, понял, но все эти переходы мы делаем для $[0,1),$ потом можно перейти к пределу при $x \to 1,$ хотя там сокращается $1-x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение26.10.2014, 21:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dmitry Tkachenko в сообщении #923215 писал(а):
хотя там сокращается $1-x.$

Вот именно что сокращается. И чего ещё желать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение27.10.2014, 10:57 


11/07/14
132
ewert, да, Вы правы. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group