n векторов

[DaniilK]

Сложить графически $n$ векторов $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, ..., $\vec{a_n}$, если известно, что все векторы лежат в одной плоскости, имеют одинаковые модули, причем вектор $\vec{a_1}$ направлен по горизонтали, а каждый последующий вектор повернут относительно предыдущего на угол $\alpha=\flac{2\pi/n}$.

Из построения суммы векторов для небольших $n$ мы можем сделать предположение, что любая сумма $n$ векторов равна нулю. Т. к. если $n=2$, то угол $\alpha=\flac{2\pi/2}=\pi$, вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$ противоположно направленные и их сумма равна нулю. Если $n=3$, то угол $\alpha=\flac{2\pi/3}$ и вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$ образуют равнобедренный треугольник (вектора $\vec{a_2}$ и $\vec{a_3}$ мы параллельно переносим так, чтобы начало вектора $\vec{a_2}$ совпадало с концом вектора $\vec{a_1}$, а начало $\vec{a_3}$ совпадало с концом $\vec{a_2}$) и их сумма также равна нулю. И т.д.

Что означает сложить графически $n$ векторов, и можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?

[DimaM]

DaniilK в сообщении #919806 писал(а):

Что означает сложить графически $n$ векторов

Нарисовать соответствующее число стрелочек.

DaniilK в сообщении #919806 писал(а):

можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?

Наверняка можно. Только зачем это в физике?

[gris]

Может быть действительно надо нарисовать правильный $n$-угольник и посчитать угол между соседними сторонами?

[nnosipov]

DaniilK в сообщении #919806 писал(а):

можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?

Даже и не пытайтесь, ни к чему хорошему это не приведёт. Лучше придумайте какой-нибудь другой метод.

[DaniilK]

DimaM в сообщении #919808 писал(а):

Нарисовать соответствующее число стрелочек.

Я не понимаю, как нарисовать сумму $n$ векторов для общего случая?

-- 17.10.2014, 13:56 --

nnosipov в сообщении #919816 писал(а):

DaniilK в сообщении #919806 писал(а):

можно ли доказать методом мат. индукции, что сумма $n$ векторов равна нулю?

Даже и не пытайтесь, ни к чему хорошему это не приведёт. Лучше придумайте какой-нибудь другой метод.

Другой способ. Если мы докажем, что вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, ..., $\vec{a_n}$, при заданных условиях, образуют правильный $n$-угольник т.е. конец вектора $\vec{a_n}$ совпадёт с началом вектора $\vec{a_1}$, то докажем, что сумма $n$ векторов равна нулю.
У нас $n$-векторов, углы между ними $\alpha=\flac{2\pi/n}$ или $\alpha=\flac{\pi(n-2)/n}$, следовательно, вектора $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, ..., $\vec{a_n}$ образуют правильный $n$-угольник и их сумма равна нулю. Мои рассуждения верны?

[ewert]

Лучше выведите все вектора из одной точки и подумайте, что будет с их суммой, если повернуть всю картинку на угол $\frac{2\pi}{n}$.

[nnosipov]

DaniilK в сообщении #919818 писал(а):

Мои рассуждения верны?

Да. Действительно, если начало очередного вектора прикладывать к концу предыдущего, то получится правильный $n$-угольник.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[dp]

Меня больше интересует как из условия задачи понять что все вектора повернуты на один и тот же угол равный $2\pi$ деленный на общее число векторов n.
А не так, что каждый последующий вектор с порядковым номером n повернут относительно предыдущего на угол $\frac{2\pi}{n}$
То есть $\vec{a_2}$ повернут относительно $\vec{a_1}$ на $\frac{2\pi}{2}=\pi$ , $\vec{a_3}$ повернут относительно $\vec{a_2}$ на $\frac{2\pi}{3}$

[arseniiv]

dp в сообщении #1168369 писал(а):

Меня больше интересует как из условия задачи понять что все вектора повернуты на один и тот же угол равный $2\pi$ деленный на общее число векторов n.

В таком описании лично мне додумывается общая для всех ось, относительно которой отсчитывается угол, и выходит что-то не то.

dp в сообщении #1168369 писал(а):

А не так, что каждый последующий вектор с порядковым номером n повернут относительно предыдущего на угол $\frac{2\pi}{n}$
То есть $\vec{a_2}$ повернут относительно $\vec{a_1}$ на $\frac{2\pi}{2}=\pi$ , $\vec{a_3}$ повернут относительно $\vec{a_2}$ на $\frac{2\pi}{3}$

Этого тоже там нет.

Там написано яснее.

-- Сб ноя 12, 2016 22:46:40 --

И потом, поезд-то ушёл уже, всё решено.

[Rusit8800]

Утверждение действительно верно. Здесь http://dxdy.ru/topic110309.html?hilit=тождество&start=15 оно уже обсуждалось . Недавно я нашел другое доказательство. Для этого надо заметить, что концы векторов образуют правильный многоугольник, а их общее начало находится в центре масс этого многоугольника.

[Lia]

Rusit8800
Тут уже встречались, кажется, все мыслимые доказательства этого утверждения. Если хорошо поискать: слишком много раз оно обсуждалось.

[Rusit8800]

Lia в сообщении #1194467 писал(а):

Тут уже встречались, кажется, все мыслимые доказательства этого утверждения. Если хорошо поискать: слишком много раз оно обсуждалось.

Ну, для меня оно было новое.