Квадратичная форма

[TelmanStud]

Всех приветствую!
Есть квадратичная форма
$\alpha x_1^2+\alpha x_2^2+\beta x_3^2+\beta x_4^2+2 \gamma x_1 x_3+2 \gamma x_2 x_4-2 \zeta x_2 x_3+2 \zeta x_1 x_4$ относительно $x_j$. Остальные $\alpha,\beta,\gamma,\zeta $-действительные параметры.

Ее матрица $\left( \begin{array}{cccc} \alpha & 0 & \gamma & \zeta \\ 0 & \alpha & -\zeta & \gamma \\ \gamma & -\zeta & \beta & 0 \\ \zeta & \gamma & 0 & \beta \end{array} \right)$

При $\alpha\beta=\gamma^2+\zeta^2$ квадратичная форма вырождена и ранг матрицы этой квадратичной формы в этом случае равен $2$ . Как я понимаю в этом случае я могу свести ее к каноническому виду с двумя переменными. Переход
$x_1\to X_1-\gamma X_3-\zeta X_4, x_2\to X_2+\zeta X_3-\gamma X_4, x_3\to \alpha X_3, x_4\to \alpha X_4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$
приводит к виду
$\alpha \left(X_1^2+X_2^2\right)$.
Но в $(1)$ все $X_j$ и $x_j$ жестко связаны и не получается ни один из $x_j$ произвольным образом связать с $X_j$, хотя таких "произвольностей" должно быть целых два. Пожалуйста помогите разобраться что не так делается мною

-- 16.10.2014, 11:45 --

Забыл сказать что предполагал $\alpha,\beta\ne0$

[main.c]

TelmanStud в сообщении #919453 писал(а):

Но в $(1)$ все $X_j$ и $x_j$ жестко связаны и не получается ни один из $x_j$ произвольным образом связать с $X_j$, хотя таких "произвольностей" должно быть целых два. Пожалуйста помогите разобраться что не так делается мною

Вот тут мне совершенно непонятно, что Вы хотите? Попробуйте более грамотно изложить свой вопрос.

[TelmanStud]

Имеется ввиду, что поменяв наример выражение для $x_3$ я не получу тот же канонический вид, хотя у меня должна была оставаться свобода выбора для любых двух $x_j$

[main.c]

TelmanStud в сообщении #919492 писал(а):

Имеется ввиду, что поменяв наример выражение для $x_3$ я не получу тот же канонический вид, хотя у меня должна была оставаться свобода выбора для любых двух $x_j$

Ну дык это ж очевидно, что если Вы поменяте выражение, то получится другой канонический вид. Вы можете в своей линейной замене поменять местами $X_2$ и $X_3$, тогда канонический вид получится:
$\alpha \left(X_1^2+X_3^2\right)$.
Но все равно Вы получите другой вид.

[TelmanStud]

main.c
Тогда у меня вопрос: Что означает вырожденность для квадратичной формы?

[nnosipov]

TelmanStud в сообщении #919555 писал(а):

Что означает вырожденность для квадратичной формы?

Это значит, что её ранг меньше числа переменных.

[TelmanStud]

nnosipov опять 25

[nnosipov]

А в чём вопрос? Сформулируйте задачу, которую Вы решаете.

[Munin]

TelmanStud
Вы понимаете, что такое квадратичная форма, вообще? Вот представьте себе квадратичную форму от двух переменных. Это будет или эллиптический параболоид (знакоопределённая форма, положительно- - вверх, и отрицательно- - вниз), или гиперболический параболоид (знаконеопределённая форма), или параболический цилиндр в положении "лёжа на боку". Вот последний случай и будет вырожденным. Эта форма не зависит от того, как повернуть систему координат на плоскости $(x,y).$

Аналогично всё и в $n$-мерном пространстве: квадратичная форма задаёт $n$ перпендикулярных собственных направлений, по которым она либо положительна, либо отрицательна, либо нуль. Количество одних, других и третьих не зависит от замен координат, и называется в одних областях математики "сигнатурой", в других - "индексом", или может быть, "типом". Вырожденность означает, что есть одно или несколько нулевых собственных направлений, благодаря которым квадратичная форма становится "как цилиндр".