Рекуррентное соотношение ортогональных многочленов

[ktoto]

Евгений Машеров в сообщении #921545 писал(а):

Оно нам оказывается нужным, и мы его "берём силой".

Евгений Машеров в сообщении #921545 писал(а):

и это выражение гарантирует, что если у $p_n$ старший коэффициент единица, то то же будет и у $p_{n+1}$, по построению.

То есть, имеем право рассмотреть случай когда $A_n = 1$

Например мы имеем линейно-независимую систему:

$\{\varphi_n\}_{n=0}^m = \{2^n x^n\}_{n=0}^m = \{A_n x^n\}_{k=0}^m $ где

говорим что всегда можно сделать такую замену:

$\widetilde{\varphi_n} = \frac{1}{A_n} \varphi_n$

Тогда $\{\widetilde{\varphi_n}\}_{n=0}^m = A \cdot \{x^n\}_{n=0}^m$ где $ A_n = A = 1$
А так как в процессе ортогонализации $\{\widetilde{\varphi_n}\}_{n=0}^m$ коэффициент при старшем члене есть произведение $A_n \cdot A_{n-1}$, то единица при нём будет сохранятся.

таким образом соотношение:

$p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)$

всегда можно привести к виду:

$p_{n+1}(x)\ =\ (x+\beta_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)$

Пытался своим языком рассказать.

[ewert]

profrotter в сообщении #921130 писал(а):

Выбирают её обычно так, чтобы норма у многочлена была единичной

Обычно как раз нет -- обычно это неудобно. Термин "нормировка" здесь действительно используют, но в расширенном смысле. Чаще всего в качестве условия нормировки берут $P_n(1)=1$, а вообще бывает по-всякому.

[profrotter]

ewert в сообщении #921790 писал(а):

Чаще всего в качестве условия нормировки берут $P_n(1)=1$

Для чего это удобно?

[ktoto]

profrotter в сообщении #921889 писал(а):

Для чего это удобно?

Не знаю для чего это удобно.
Удобно:
1. Располагать область определения симметрично относительно нуля $\\ \\ l:[x_1, x_n] \rightarrow [-1, 1]$,
2. производя замены, приводя линейно-независимую систему к виду $\{\varphi_n\}_{n=0}^m = \{t^k\}_{k=0}^m $

Можно использовать соотношение:

$$p_{n+1}(x)\ =\ x\ p_n(x)\ -\ \alpha_n\ p_{n-1}(x)$$

[ewert]

profrotter в сообщении #921889 писал(а):

Для чего это удобно?

А зачем вообще нормируют?... В данном случае -- для того, чтобы типичные значения многочленов были не слишком большими и не слишком маленькими. Конечно, нормировка в обычном понимании это более-менее обеспечивает,но там нормировочные коэффициенты будут уж больно неуклюжими. А так -- в самый раз.

[profrotter]

ewert в сообщении #922562 писал(а):

А зачем вообще нормируют?... В данном случае -- для того, чтобы типичные значения многочленов были не слишком большими и не слишком маленькими. Конечно, нормировка в обычном понимании это более-менее обеспечивает,но там нормировочные коэффициенты будут уж больно неуклюжими. А так -- в самый раз.

Я полагал, что нормируют, чтобы получить ортонормированную систему функций и потом по более компактной формуле вычислять коэффициенты аппроксимирующей функции. Если не нормировать сразу на единичную норму, то это фактически всё равно придётся сделать при расчёте коэффицентов.

Ну вот я формирую ортогональные многочлены с единичным весом и нормирую как Вы предлагаете (на рис. показаны графики многочленов с номерами 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27):

Как видите разброс значений многочленов имеется. Чем больше номер многочлена - тем уже горизонтальный коридорчик, в который укладывается его график. Выражение для многочлена с номером 10:

$$p_{10}(x)=-0,25+13,6t^2-117,8t^4+353,4t^6-429t^8+181t^{10}$$

У многочлена с номером 30 свободный коэффициент -0,15, а коэффициент при старшем члене 11421212042,9.
Теперь формируем многочлены с единичной нормой (на рис. показаны графики многочленов с номерами 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27):

Все графики равномерно укладываются в некоторый горизонтальный коридорчик. Выражение для многочлена с номером 10:

$$p_{10}(x)=-0,8+43,8t^2-379,9t^4+1139,7t^6-1393t^8+584,1t^{10}$$

У многочлена с номером 30 свободный коэффициент -0,79, а коэффициент при старшем члене 606757468,36.
Коэффициенты у многочленов в обоих случаях не удобные.

[ewert]

profrotter в сообщении #923294 писал(а):

Я полагал, что нормируют, чтобы получить ортонормированную систему функций

Это -- стандартное понимание термина "нормировка". Однако с чисто практической точки зрения в случае ортогональных многочленов главное другое: чтоб формулки были как можно проще. И тут деление на норму невыгодно: ну кому охота возиться со всякими там корнями; в конце-то концов, если приспичит, разделить на норму всегда можно.

Конечно, это лишь рудимент времён ручного счёта. Но тут уж так: как он сложился -- так и вбит в справочники.