Аффинные пространства

[main.c]

Есть 2 плоскости аффинного пространства $P_1$ и $P_2$, одна задана параметрически, а другая общим уравнением, нужно найти размерность аффинной оболочки их объединения и стпень их параллельности. Я умею определять размерность, если оба уравнения в общем виде. Понятно, что я могу перейти от параметрического к общему. Вопрос, а если я подставлю данные из параметрического уравнения в общее, размерность просранства решений полученной СЛАУ как раз и будет размерностью пересечения или нет? А если вообще 2 уравнения в параметрическом и я приравняю одноимённые координаты, такой способ сработает?

[main.c]

Видимо без конкретики не ясно, о чём речь. Хорошо, тогда вот задача, после которой у меня возникли выше приведённые вопросы. Даны две плоскости в аффинном пространстве:

$$P_1 = \begin{cases}2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 = 6 \\ 6x_1 + 5x_2 + 4x_3 + 3x_4 = 2 \end{cases} P_2 = \begin{cases}x_1 = 1 - t_1 \\ x_2 = 1 + 2t_1 + t_2 \\ x_3 = 1-2t_1+2t_2 \\ x_4 = 1 + t_1 + t_2 \end{cases}$$

Нужно найти размерность аффинной оболочки объединения и размерность пересечения или степень параллельности.
Что я делаю. Я подставляю параметрические уравнения в общее уравнение, получил такую вот систему:

$$\begin{cases}t_1 - 16t_2 = 16 \\ t_1 + 16t_2 = -8 \end{cases}$$

Она имеет единственное решение, это значит, что данные 2-мерные плоскости в 4-мерном аффинном пространстве пересекаются в 1 точке (такое вообще возможно? ). Получается, что размерность пересечения равна 0, а для размерности объединения работает обычная формула Грассмана, то есть она равна 4. Ответ в моём задачнике: для объединения так же 4, но для пересечения сказано, что оно пустое, и степень параллельности равна 1. Что я делаю не так? Заранее спасибо.

[Brukvalub]

Так все просто - вы в дробях в знаках путаетесь не подеЦЦки.

[main.c]

Brukvalub в сообщении #919657 писал(а):

Так все просто - вы в дробях в знаках путаетесь не подеЦЦки.

Я ещё раз подставил, получились такие же уравнения. А какие получились у Вас?

[ex-math]

Ну раз Вы нашли точку, общую обеим плоскостям, значит, пересечение уже не пустое. А в задачниках могут быть опечатки.

[main.c]

ex-math в сообщении #919741 писал(а):

Ну раз Вы нашли точку, общую обеим плоскостям, значит, пересечение уже не пустое. А в задачниках могут быть опечатки.

А то что две 2-мерные плоскости пересекаются в одной точке это нормально?????

[ex-math]

А две 1-мерные "плоскости" в двумерном пространстве могут пересекаться в одной точке?

-- 16.10.2014, 23:29 --

По сути, Вы решаете систему 4-х уравнений с 4-мя неизвестными. В зависимости от рангов матриц может быть любая размерность от 0 до 4. Ну или если учесть, что плоскости были все-таки двумерными, то от 0 до 2.

[Munin]

main.c в сообщении #919652 писал(а):

Она имеет единственное решение, это значит, что данные 2-мерные плоскости в 4-мерном аффинном пространстве пересекаются в 1 точке (такое вообще возможно? :shock: ).

Ну да. Если в $n$-мерном линейном пространстве есть линейные подпространства размерности $m$ и $k,$ то размерность их пересечения может быть в диапазоне от $\max\{0,m+k-n\}$ до $\min\{m,k\}.$ Ну а в аффинном есть ещё вариант, если они вообще не пересекаются. Если пересекаются хотя бы в одной точке - то возвращаемся к предыдущему.

[alcoholist]

main.c в сообщении #919747 писал(а):

А то что две 2-мерные плоскости пересекаются в одной точке это нормально?????

ну, прямая и плоскость могут пересекаться по одной точке?-)))

[Munin]

alcoholist в сообщении #920111 писал(а):

ну, прямая и плоскость могут пересекаться по одной точке?-)))

Не всегда :-)

[VAL]

main.c в сообщении #919747 писал(а):

А то что две 2-мерные плоскости пересекаются в одной точке это нормально?????

Но только нормально, но и типично для двух двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве. Остальные случаи взаимного расположения редки, ибо частные. (Особенно редок случай скрещивания, который вообще невозможен ) Ну а пересечение в точке характеризует две двумерные плоскости общего положения.

[Munin]

VAL в сообщении #920193 писал(а):

Но только нормально, но и типично для двух двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве. Остальные случаи взаимного расположения редки, ибо частные. (Особенно редок случай скрещивания, который вообще невозможен :-) )

Спорим на банку пива, что плоскости $x_0=0\wedge x_1=0$ и $x_0=1\wedge x_2=0$ скрещиваются?

[VAL]

Munin в сообщении #920199 писал(а):

VAL в сообщении #920193 писал(а):

Но только нормально, но и типично для двух двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве. Остальные случаи взаимного расположения редки, ибо частные. (Особенно редок случай скрещивания, который вообще невозможен )

Спорим на банку пива, что плоскости $x_0=0\wedge x_1=0$ и $x_0=1\wedge x_2=0$ скрещиваются?

Вы с пивом сами подъедете или по почте пришлете?

Две двумерные плоскости в четырехмерном пространстве в принципе не могут скрещиваться: тесно им там.
Возможные случаи:
совпадают;
пересекаются по прямой;
пересекаются в точке;
параллельны;
параллельны вдоль прямой.

Ваш - последний.

[nnosipov]

VAL, Вы имеете в виду какое-то кошерное скрещивание. Вот в учебнике Кострикина () всё по-простому. А в каком учебнике можно найти определение типа "параллельности вдоль прямой"?

[VAL]

nnosipov в сообщении #920251 писал(а):

VAL, Вы имеете в виду какое-то кошерное скрещивание. Вот в учебнике Кострикина () всё по-простому. А в каком учебнике можно найти определение типа "параллельности вдоль прямой"?

Ну, например, у Базылева: Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия I, 1974 г. Глава IV параграф 27, стр. 250.
Скрещивание определяется так:
направляющие пространства пересекаются по нуль-вектору;
сами плоскости не пересекаются.
Если же размерность пересечения направляющих пространств больше 0, но меньше размерности каждой плоскостей, а сами плоскости не пересекаются, то плоскости частично параллельны вдоль пересечения направляющих пространств.