Разбиение многоугольника

[Dmitry Tkachenko]

Для фиксированного $k \ge 3$ найти все такие $n,$ что $n-$угольник не разрезается на выпуклые $k-$угольники.

Например, квадрат нельзя разрезать на выпуклые 6-угольники.

[Dmitry Tkachenko]

Какие есть материалы по этой задаче? Может, она раньше встречалась где-то? Частные случаи точно. А общий?

Еще один пример -- 7-угольник, вроде, нельзя разбить на выпуклые 6-угольники.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по просьбе ТС

[Sender]

Вот пара мыслей по этому поводу. Прежде всего, из треугольников и четырёхугольников можно склеить что угодно. Из пятиугольников - что угодно с $n \geqslant 6$.
Из топологических соображений нетрудно получить, что при $k \geqslant 6$ для возможности разбиения необходимо $n \geqslant k$.
Склейкой двух выпуклых многоугольников с числом вершин $n_1$ и $n_2$ можно получить выпуклые же многоугольники с числом вершин $n_1+n_2-4$, $n_1+n_2-3$ и $n_1+n_2-2$. Отсюда нетрудно вывести, что из выпуклых $k$-угольников можно склеить многоугольник с любым числом вершин $n$, если оно достаточно велико.

[Dmitry Tkachenko]

Sender, думаю, что из 5-угольников -- вообще всё.

Интересно, как Вы думаете, если бы нам удалось разбить выпуклый многоугольник каким то образом, мы могли бы взять это разбиение и с сохранением количества сторон каждого элемента разбиения и его выпуклости (то есть, если он был вогнутый, таким этот элемент должен и остаться) перенести это разбиение на любой другой выпуклый многоугольник? То есть изначальное разбиение можно шевелить и менять масштаб как угодно, главное, чтобы сохранялась выпуклость и количество сторон у каждого компонента разбиения. Получится ли доказать, в некотором смысле, такой изоморфизм.