Свойство биномиального распределения (монотонность вер-тей)

[ZheniaM]

Уважаемый коллеги!

Возникла следующая задача. Пусть $r,m$ - фиксированные числа. Обозначим

$$g(x)=\sum_{i=0}^t C_m^i x^i(1-x)^{m-i}$$

. Тоесть, это есть вероятность
$\mathcal{P}(Z\leq t)$, где $Z\sim\mathbf{Bi}(m,x)$. Надо проверить (доказать), что функция $g(x)$ - монотонно убывает по $x$.
(Само собой предполагается, что $x\in{(0,1)}$).

Попробывал рассмотреть производные, получил выражение
\begin{equation} \notag \begin{split} &\frac{\partial g(x)}{\partial x}=\sum_{i=0}^tC_m^i[ix^{i-1}(1-x)^{m-i}-(m-i)x^i(1-x)^{m-i-1}]=\sum_{i=0}^tC_m^ix^{i-1}(1-x)^{m-i-1}[i-mx]=\\ &=\frac{1}{x(1-x)}\left(\sum_{i=0}^tiC_m^ix^i(1-x)^{m-i}-mx\sum_{i=0}^tC_m^ix^i(1-x)^{m-i}\right)=\\ &=\frac{1}{x(1-x)}\left(\mathbf{M}[Y,Y\leq t]-\mathbf{M}[[Y]\mathbf{M}[\chi\left(Y\leq t\right)]\right)=\\ &=\frac{1}{x(1-x)}\left(\mathbf{M}[Y,Y\leq t]-\mathbf{M}[Y]\mathcal{P}\left(Y\leq t\right)\right), \end{split} \end{equation}
где $\chi(\cdot)$ - индикаторная функция, Y\sim\mathbf{Bi}(m,x).

Дальнейшие преобразрование, увы, ни к чему не привели. Может быть кто-нибудь сталкивался с чем-нибудь похожим?[/math]

[незваный гость]

При $ t \geq m $ $g(x) = 1$. При $t < m$ имеем: $\frac{\partial g(x)}{\partial x} = - m C_{m-1}^{k} x^{k}(1-x)^{m-1-k}$, где $k$ — целая часть $t$.

[ZheniaM]

Можно ли поподробнее случай $t<m$?
У меня получилось примерно следующее
\begin{equation} \notag \frac{\partial g(x)}{\partial x}=\sum_{i=0}^tC_m^ix^{i-1}(1-x)^{m-i-1}(i-mx). \end{equation}
Если рассмотреть $a_i=C_m^ix^{i-1}(1-x)^{m-i-1}(i-mx)$, то его можно преобразовать (учитывая что $iC_m^i=m(C_m^i-C_{m-1}^i)$) к следующему виду

$$ a_i=m(C_m^i-C_{m-1}^i)x^{i-1}(1-x)^{m-i-1}-mC_m^ix^i(1-x)^{m-i-1}=x^{i-1}mx^{m-i-1}\left(C_m^i(1-x)-C_{m-1}^i\right) $$

[незваный гость]

Обозначим $y \to 1-x$. Имеем для члена производной: $C_{m}^{j} j x^{j-1} y^{m-j} - C_{m}^{j} (m-j) x^{j} y^{m-j-1} = $ $ C_{m}^{j} j x^{j-1} y^{m-j} - C_{m}^{m-j} (m-j) x^{j} y^{m-j-1}$. Поскольку $ k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$, $= m C_{m-1}^{j-1} x^{j-1} y^{m-j} - m C_{m-1}^{m-j-1} x^{j} y^{m-j-1} = $ $ m (C_{m-1}^{j-1} x^{j-1} y^{m-j} - C_{m-1}^{j} x^{j} y^{m-j-1}) = $ $ - m (C_{m-1}^{j} x^{j} y^{m-j-1} - C_{m-1}^{j-1} x^{j-1} y^{m-j})$. В такой форме видно, как при суммировании начнут сокращаться члены (при соседних $j$).

[ZheniaM]

Спасибо!...всё понятно