Уважаемый коллеги!
Возникла следующая задача. Пусть

- фиксированные числа. Обозначим

. Тоесть, это есть вероятность

, где

. Надо проверить (доказать), что функция

- монотонно убывает по

.
(Само собой предполагается, что

).
Попробывал рассмотреть производные, получил выражение
![\begin{equation}
\notag
\begin{split}
&\frac{\partial g(x)}{\partial
x}=\sum_{i=0}^tC_m^i[ix^{i-1}(1-x)^{m-i}-(m-i)x^i(1-x)^{m-i-1}]=\sum_{i=0}^tC_m^ix^{i-1}(1-x)^{m-i-1}[i-mx]=\\
&=\frac{1}{x(1-x)}\left(\sum_{i=0}^tiC_m^ix^i(1-x)^{m-i}-mx\sum_{i=0}^tC_m^ix^i(1-x)^{m-i}\right)=\\
&=\frac{1}{x(1-x)}\left(\mathbf{M}[Y,Y\leq t]-\mathbf{M}[[Y]\mathbf{M}[\chi\left(Y\leq t\right)]\right)=\\
&=\frac{1}{x(1-x)}\left(\mathbf{M}[Y,Y\leq t]-\mathbf{M}[Y]\mathcal{P}\left(Y\leq t\right)\right),
\end{split}
\end{equation} \begin{equation}
\notag
\begin{split}
&\frac{\partial g(x)}{\partial
x}=\sum_{i=0}^tC_m^i[ix^{i-1}(1-x)^{m-i}-(m-i)x^i(1-x)^{m-i-1}]=\sum_{i=0}^tC_m^ix^{i-1}(1-x)^{m-i-1}[i-mx]=\\
&=\frac{1}{x(1-x)}\left(\sum_{i=0}^tiC_m^ix^i(1-x)^{m-i}-mx\sum_{i=0}^tC_m^ix^i(1-x)^{m-i}\right)=\\
&=\frac{1}{x(1-x)}\left(\mathbf{M}[Y,Y\leq t]-\mathbf{M}[[Y]\mathbf{M}[\chi\left(Y\leq t\right)]\right)=\\
&=\frac{1}{x(1-x)}\left(\mathbf{M}[Y,Y\leq t]-\mathbf{M}[Y]\mathcal{P}\left(Y\leq t\right)\right),
\end{split}
\end{equation}](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/2/a626fd612009d9fb4621d1ea6a54753182.png)
где

- индикаторная функция,

.
Дальнейшие преобразрование, увы, ни к чему не привели. Может быть кто-нибудь сталкивался с чем-нибудь похожим?[/math]