Метрика, индуцированная функцией в пространстве Минковского

[bayak]

Построим такое псевдориманово 4-многообразие $(t',x',y',z')$, что метрический тензор псевдориманова многообразия вычисляется через скалярное произведение градиентов координат пространства Минковского $^{3}\mathbb{R}_{4}$ по формуле $g^{ij} = \nabla x_i(\textbf{x})\cdot \nabla x_j(\textbf{x}')$, где $x_i, x_j=t,x,y,z$, и где $\textbf{x}=\bar{t}+\bar{x}+\bar{y}+\bar{z}$, $\textbf{x}'=\bar{t}'+\bar{x}'+\bar{y}'+\bar{z}'$. А поскольку $\Delta x_i=\frac{\partial x_i}{\partial x'_j}\Delta x'_j$, $\Delta x'_i = \frac{\partial x'_i}{\partial x_j}\Delta x_j$, то
$ \begin{equation*} \sqrt{g^{ij}\Delta x'_i\Delta x'_j}=\nabla u\cdot \Delta \textbf{x} \\ = \frac{\partial u}{\partial x_1}\Delta x_1 - \frac{\partial u}{\partial x_2}\Delta x_2 - \frac{\partial u}{\partial x_3}\Delta x_3 - \frac{\partial u}{\partial x_4}\Delta x_4 \\ = \frac{\partial u}{\partial t}\Delta t - \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y - \frac{\partial u}{\partial z}\Delta z, \end{equation*} $
где $u=t'+x'+y'+z'$. При этом, без потери общности можно считать, что $u=t'+x+y+z$. Следовательно дифференциальный элемент длины этого многообразия задаётся скалярным произведением градиента временной координатной функции и дифференциального элемента пространства Минковского. С другой стороны, экстремум этого скалярного произведения достигается при условии, что поверхность уровня временной координатной функции является минимальной, т.е. её средняя кривизна всюду равна нулю. Иначе говоря, требуется выполнение дифференциального уравнения:
$ \begin{equation*} \frac{\partial n_t}{\partial t} - \frac{\partial n_x}{\partial x}- \frac{\partial n_y}{\partial y} - \frac{\partial n_z}{\partial z}=0, \end{equation*} $
где $\textbf{n}=\frac{\nabla t'}{|\nabla t'|}$.
Таким образом, геометрия минимальных поверхностей пространства Минковского может пересекаться с геометрией пространства-времени. Вероятность такого пересечения и является предметом возможного обсуждения.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствует предмет обсуждения

bayak
Сформулируйте предмет обсуждения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Возвращено.

[Munin]

Вопросы по обозначениям: что такое ${}^{3}\mathbb{R}_{4},$ и чем $t,x,y,z$ отличаются от $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}.$

[bayak]

Munin в сообщении #918109 писал(а):

Вопросы по обозначениям: что такое ${}^{3}\mathbb{R}_{4},$ и чем $t,x,y,z$ отличаются от $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}.$

Старомодное обозначение пространства Минковского с сигнатурой (+ - - -) 4-мерным евклидовым пространством с дефектом ${}^{3}\mathbb{R}_{4},$ взято из монографии Розенфельда Б.А."Неевклидовы геометрии". Координаты $t,x,y,z$ отдичаются от компонент вектора $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}$. Однако получилось коряво - в скобки надо было бы заключить набор координат $x$ и $x'$, но символом $x$ уже обозначена одна из координат.

[Munin]

bayak в сообщении #918115 писал(а):

Координаты $t,x,y,z$ отдичаются от компонент вектора $\bar{t},\bar{x},\bar{y},\bar{z}$.

Я спросил "чем".

[bayak]

Munin в сообщении #918120 писал(а):

Я спросил "чем".

А я сказал чем. Или уточните вопрос. На всякий случай - в контексте моего опуса скалярное произведение означает свёртку ковектора с вектором с учётом сигнатуры.

[Munin]

Вы просто сказали "отличается".

[bayak]

Munin в сообщении #918138 писал(а):

Вы просто сказали "отличается".

Не просто, было ещё сказано, что одно - координаты, а другое - компоненты вектора. Какое пояснение ещё требуется?

[Munin]

Чем отличаются координаты от компонент вектора?

[bayak]

$\bar{t}=t\textbf{e}^1$, где $\textbf{e}^1$ - соответствующий орт. Только не спрашивайте, что такое "соответствующий орт". Отвечать не буду - достали.

[Munin]

Всё, теперь понял.

-- 12.10.2014 22:22:02 --

Тогда следующая же формула

bayak в сообщении #917672 писал(а):

$\sqrt{g^{ij}\Delta x'_i\Delta x'_j}=\nabla u\cdot \Delta \textbf{x}$
где $u=t'+x'+y'+z'$.

неверна.

[bayak]

Munin, вы правы, формула неверна.