Наименьшее число Ирины

[Ktina]

Числом Ирины называется такое натуральное число $k$, при котором для любых 2014 натуральных чисел $n_1,~ n_2, ~\dots , ~ n_{2014}$ значение выражения

$$n_1~n_2~\dots~n_{2014}(n_1^k+n_2^k+\dots +n_{2014}^k)$$

делится нацело на 2014.

Найдите наименьшее число Ирины или докажите, что его не существует.

[Shadow]

$\operatorname{lcm}(18,52)=468$

[nnosipov]

Да.