Фундаментальная группа двумерной сферы...

[Таня Тайс]

Фундаментальная группа двухмерной сферы как и поля комплексных чисел без нуля изоморфна группе целых чисел. Гомеоморфны ли это пространства- сфера и комплексные числа без нуля?

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Гомеоморфны ли это пространства- сфера и комплексные числа без нуля?

Сфера - компакт, непрерывный образ компакта - компакт, а комплексные числа без нуля компактом не являются

[Руст]

Таня Тайс писал(а):

Фундаментальная группа двухмерной сферы как и поля комплексных чисел без нуля изоморфна группе целых чисел. Гомеоморфны ли это пространства- сфера и комплексные числа без нуля?

Сфера односвязная. Фундаментальная группа односвязных многообразий тривиальная.

[Таня Тайс]

Руст
неправда.
Фундаментальная группа двухмерн. сферы $S^1$содержит бесконечно много элементов.
$S^1 \times \mathbb{R}$ гомеоморфно $ \mathbb{R}^2 -0$, а это пространство гомеоморфно компл. числам без нуля. Ура! Всем спасибо.

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Гомеоморфны ли это пространства- сфера и комплексные числа без нуля?

Таня Тайс писал(а):

$S^1 \times \mathbb{R}$ гомеоморфно $ \mathbb{R}^2 -0$, а это пространство гомеоморфно компл. числам без нуля.

Глядя на последнее рассуждение, так и хочется спросить: а при чем тогда двумерная сфера???

[Таня Тайс]

Brukvalub писал(а):

Глядя на последнее рассуждение, так и хочется спросить: а при чем тогда двумерная сфера???

У них группы изоморфны. Было подозрение, что и пространства гомеоморфны. Я не подумала про то, что сфера компактна.
Двумерная сфера это $S^1$.

[Someone]

Таня Тайс писал(а):

Двумерная сфера это $S^1$.

Вообще-то, $S^1$ - это одномерная сфера (окружность). А двумерная сфера - это $S^2$. Если, конечно, кто-то не поменял тайком стандартные обозначения.

[Таня Тайс]

Я уже ничего не понимаю

[Someone]

Таня Тайс писал(а):

Я уже ничего не понимаю

По-моему, у Вас путаница с обозначениями.

$S^1$ - это окружность. И фундаментальная группа у неё изоморфна $\mathbb Z$.
Зато двумерная сфера - это $S^2$ (это не квадрат окружности, а обозначение двумерной сферы). И её фундаментальная группа нулевая.