Уравнение с бесконечным рядом

[Ivan_Belkin]

$\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 ...}}} = 49$

Конечно, можно было бы представить выражение в виде возведения в степень $2/3$, но проблема в том, что корень третьей степени извлекается из произведения квадрата числа $x$ и корня третьей степени из произведения квадрата числа $x$ и корня третьей степени...

-- 08.10.2014, 16:24 --

Можно ввести рекурсивную функцию, которая будет иметь вид $f(x,n+1) = \sqrt[3]{x^2f(x,n)}$ ($n$ - кол-во интераций, повторов). Однако, вот как применить эту функцию к уравнению, тем более если $n$ неограниченно возрастает...

[ИСН]

Выражение слева не имеет смысла, пока Вы не придадите ему смысл. Какой и как?

-- менее минуты назад --

Естественный вариант - как предел конечных выражений.

[Ivan_Belkin]

Приведем кубический корень к выражению с дробно-рациональной степенью: $f(x,n+1) = \sqrt[3]{x^2f(x,n)} = (x^2f(x,n))^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}f^{\frac{1}{3}}(x,n)$.

$49=7^2$

Так хочется извлечь квадратный корень из обоих частей уравнения, только вот при извлечении квадратного корня корень из функции $f(x,n)$ будет уже 6-ой степени, что больше добавляет соли в решение...

Цитата:

Выражение слева не имеет смысла, пока Вы не придадите ему смысл. Какой и как?

Многоточие, скорее всего, обозначает бесконечное продолжение последовательности.

[ИСН]

Да это понятно. Вот и найдите предел этой последовательности с помощью методов нахождения пределов. Первый член её какой, например? А второй? А третий?

[Ivan_Belkin]

Проведя все упрощения (пока не без помощи компьютера), я получил упрощенный вид функции $f(x,n)=x^{\frac{3^n-1}{3^n}}$. Найдем предел этой функции по $n$: $\lim_{n \to \infty } f(x, n)=\lim_{n \to \infty } x^{\frac{3^n-1}{3^n}} = \lim_{n \to \infty } x^{\frac{3^n}{3^n}-\frac{1}{3^n}}=\lim_{n \to \infty } x^{1-\frac{1}{3^n}} = \lim_{n \to \infty } x^{1-0}= \lim_{n \to \infty } x = x$

Получается, корнями уравнения будут числа $-49$ и $49$?

[ИСН]

Без некоторых деталей, кои подразумеваются, но не написаны, можно подумать, что Вы считаете числа $-49$ и $49$ одинаковыми.

[Ivan_Belkin]

А теперь докажем истинность аналитической формулы для функции $f(x,n)$:
$f(x,n+1)=\sqrt[3]{x^2f(x,n)}$ - рекурсивная формула для данной функции;
Приведем корни к рациональной степени в данной формуле: $\sqrt[3]{x^2f(x,n)}=\sqrt[3]{x^2}\sqrt[3]{f(x,n)}=x^{\frac{2}{3}}f^{\frac{1}{3}}(x,n)$, значит $f(x,n+1)=x^{\frac{2}{3}}f^{\frac{1}{3}}(x,n)$;
Пусть для $n$ выполняется тождество $f(x,n)=x^{\frac{3^n-1}{3^n}}$;
Докажем истинность аналитической формулы для $n+1$: $f(x,n+1)=x^{\frac{2}{3}}(x^{\frac{3^n-1}{3^n}})^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}x^{\frac{3^n-1}{3^n}\cdot\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}x^{\frac{3^n-1}{3^{n+1}}}=x^{\frac{2\cdot3^n+3^n-1}{3^{n+1}}}=x^{\frac{3\cdot3^n-1}{3^{n+1}}}=x^{\frac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}}}$, значит аналитическая формула функции верна и для $n+1$. ЧТД

-- 08.10.2014, 18:12 --

ИСН в сообщении #916570 писал(а):

можно подумать, что Вы считаете числа $-49$ и $49$ одинаковыми.

Во-первых, нужно различать понятия "корни уравнения" и "аргумент функции". Во-вторых, т.к. числитель степени $x$ ($3^n-1$) - четный, то корней у уравнения должно быть $2$ (т.к. выражение $x^2$ всегда дает неотрицательное число).

-- 08.10.2014, 18:17 --

(Оффтоп)

Правда, мы еще не изучали понятие предела, но можно доказать предел функции $f(x,n)=3^{\frac{3^n-1}{3^n}}$ логическим путем (типа, чем больше знаменатель дроби, тем меньше значение самой дроби, а значит значение дроби приближается к нулю, и числитель дроби меньше знаменателя: $3^n-1<3^n$)

[ИСН]

Степень $x$ - дробная; как она можёт быть чётной (или нечётной, for that matter)? А когда мы перейдём к пределу, то степень получится первая, что тоже на чётную не тянет.
Я понимаю, что Вы имеете в виду, но сказать это нужно так, чтобы нельзя было докопаться.

[Ivan_Belkin]

(Оффтоп)

ИСН,

Цитата:

Во-вторых, т.к. числитель степени $x$ ($3^n-1$) - четный

Пофиксил ошибку

[ИСН]

Так-то лучше.
Кстати, это не оффтопик.

[gris]

А почему просто не записать показатель степени с дробями и скобками. Там видна геометрическая прогрессия, а в школе её сумма даётся без пределов.

[Ivan_Belkin]

gris в сообщении #916590 писал(а):

А почему просто не записать показатель степени с дробями и скобками. Там видна геометрическая прогрессия, а в школе её сумма даётся без пределов.

Ну, так я фактически и пришел к сумме геометрической прогрессии, только доказал ее методом индукции, а не по уже данной формуле суммы геометрической прогрессии. Да и тут речь идет о частичной сумме геометрической прогрессии, а не бесконечной ее сумме. Как раз для нахождения бесконечной суммы и нужен предел.

[мат-ламер]

Если исходное выражение возвести в куб, а затем извлечь из него корень, то получится $x*7=243$. (Исправил ошибку)

[Evgenjy]

Можно решить без бесконечного ряда
$\sqrt[3]{x^249}=49$
$x=\pm49$
Правда здесь используется, что предел существует. Последовательность, впрочем, монотонно возрастающая. Осталось доказать ограниченность.

[Brukvalub]

Evgenjy в сообщении #916705 писал(а):

Можно решить без бесконечного ряда
$\sqrt[3]{x^249}=49$
$x=\pm49$

Я тоже так могу! Берем бесконечный ряд из единиц и обозначаем его сумму как $S$ . Если после каждой единицы приписать еще одну единицу, то ряд не изменится, поэтому $2S=S$ . Значит, сумма ряда из единиц равна 0.