Вероятность, сумма квадратов меньше определенного числа

[xolodec]

Есть такая задача:
Из множества $\{1,2,..,N\}$ по схеме с возвращением выбирают два числа. Найдите вероятность, что сумма квадратов этих чисел меньше, чем $N^2$.

Не могу понять, как павильно подойти к этому вопросу, пробовал геометрически, но кажется, это неправильный путь, потому что оси нелинейные. Знаю, из ответа, что при стремлении $N$ к бесконечности искомая вероятность равна $\frac{\pi}{4}$, но как это получилось, не могу понять, к сожалению.

Подскажите пожалуйста!

[Evgenjy]

Возьмите лист клетчатой бумаги. Точную формулу вероятности для каждого $N$ Вы не найдете, а вот предел при стремлении $N$ к бесконечности найти легко.

[ИСН]

Попробуйте ещё раз геометрически.

[mihailm]

xolodec в сообщении #916452 писал(а):

...потому что оси нелинейные...

Нарисуйте, пожалуйста, эти нелинейные оси (хочется посмотреть насколько они нелинейные).

[xolodec]

Можете намекнуть, что конкретно значит геометрически ?

Нелинейные оси - имелось в виду, если откладывать по осям не сами числа, а их квадраты.

[ИСН]

А Вы не откладывайте по осям квадраты, вот они и не будут нелинейными.

-- менее минуты назад --

Геометрически значит то же, что обычно. Каждый исход (выбор двух чисел) интерпретируем как точку на плоскости. Какую фигуру образуют все эти точки? Какое её подмножество нас интересует?

[xolodec]

То есть вы предлагаете нарисовать трехмерный график ?
На плоскости это невозможно нарисовать - потому что каждая пара точек должна отображаться в сумму их квадратов.

[ИСН]

Зачем и кто Вам сказали таких слов? Нет никакой график! Я предлагаю посмотреть: какую фигуру образуют все эти точки? Какое её подмножество нас интересует?

[xolodec]

Я не могу Вас понять.
Если отображать каждую пару точек в сумму квадратов, то нужно три измерения : 2 точки и результат суммы их квадратов.

если отображать квадрат каждой точки на плоскости, то получится график, который представлен выше.

Вот допустим, что $N=3$, тогда возможны такие точки $(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,2) , (2,3) , (3,3)$, каждая такая точка соответствует следующим квадратам $2,5,10,8,13,18$ соответственно.

Как мне отобразить допустим точку $(2,2)$ в 8? На плоскости ?

[whitefox]

xolodec в сообщении #916505 писал(а):

Как мне отобразить допустим точку $(2,2)$ в 8? На плоскости ?

Вас просят пару чисел $(2,2)$ отобразить в точку на плоскости с координатами $(x=2,y=2)$. И определить какую фигуру на плоскости образуют точки с условием $x^2+y^2<N^2$

[xolodec]

Благодарю Вас! Я понял!!
Получился правильный ответ!

А почему я не смогу найти точную формулу вероятности для каждого случая N? Мне кажется это реально, нужно просто более изощренным образом применить геометрию, верно? Найти часть площади треугольника, которую покрывает окружность - кажется задача сведется только к этому.
Я здесь не прав ?


Еще раз благодарю всех! Сам мы не догадался. Мне почему то хотелось на плоскости отметить и квадраты тоже. Я бы очень долго мучался.

[ИСН]

Вы про какой треугольник сейчас говорите, например?

[xolodec]

Вот про этот, образованный точками - наборами двух чисел, выбранных из множества $\{1, ..., N\}$:

[ИСН]

Э... У Вас красивый почерк.

-- менее минуты назад --

Теперь по существу. Хотите для каждого $N$? Прекрасно. Скажите, чему равна искомая вероятность для $N=2$?

[Brukvalub]

Попробуйте придать строгость следующему интуитивному рассуждению: картинка показывает, что общее количество возможных исходов пропорционально площади квадрата со стороной $N$, а количество благоприятных исходов пропорционально площади четверти круга радиуса $N$.