не менее трех разл. прост. делителей

[rightways]

$p-$ простое число и $2^{p-1}-1$ делится на $p^2$. Докажите, что для каждого натурального $n$ число $(p-1)(p!+2^n)$ имеет не менее трех различных простых делителей.

[Sonic86]

Легкая же

(решение)

$\omega(n)$ - число различных простых делителей $n$
$2\mid p-1$
$\gcd(p-1,p!+2^n)=\gcd(p-1,2^n)=2^k$ - это $1$ или степень двойки, а двойку уже учли.
Значит $\omega((p-1)(p!+2^n))=1+\omega(\frac{p-1}{2^k})+\omega(\frac{p!+2^n}{2^m}) \geqslant 3$ $ \Leftrightarrow p-1\neq 2^k\Leftrightarrow p\neq F_r$, дальше проверяем, что числа Ферма условию не удовлетворяют (функции Эйлера для этого достаточно)
($k=\operatorname{ord}_2(p-1), m=\operatorname{ord}_2(p!+2^n)$)

[Null]

Вы $2^{p-1}-1$ делится на $p^2$ не использовали, проверьте $p=3$ и $n=1$