Помогите разобраться с уравнением Льенара

[Gdasar]

$\frac {d^2x} {dt^2} + f(x) \frac {dx}{dt} + g(x) = 0$
По книге С.Левшец.

Положим:
$F(x) = \int^x_0 f(x)dx$ ; $G(x) = \int^x_0 g(x)dx$

$y = \frac {dx}{dt} + F(x)$ ; $u(x,y) = \frac {y^2}{2} + G(x)$

Как он получил последние два равенства?
Помогите разобраться.

[ИСН]

Вот Вы написали уравнение. Роль букв x, t, f, g ясна из самого уравнения.
Но что такое y и где оно определяется?

[Gdasar]

ИСН в сообщении #916282 писал(а):

Но что такое y и где оно определяется?

Как раз таки я не понимаю,что такое y и u. В самой книге не нашел.
Или y - это x с точкой. А u - это траектория?
Если так,то я все еще не понимаю,как их(эти равенства) получили.

[Red_Herring]

$y$, $F$, $G$ и $u$ определены четырмя формулами ("Положим"). Вам надо посчитать $\frac{du}{dt}$ и выяснить, при каких условиях она неположительна (отрицательна). Вопрос об устойчивости.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2939/ЛЬЕНАРА

[Lia]

ИСН в сообщении #916282 писал(а):

x, t, f, g

Gdasar в сообщении #916302 писал(а):

y и u.

Буковки оформляем все дружненько как положено.

[Gdasar]

Red_Herring в сообщении #916407 писал(а):

Вам надо посчитать $\frac{du}{dt}$

$\frac {du(x,y)}{dt} = \frac {d}{dt}( \frac {y^2}{2} + G(x)) = \frac {d}{dt} [\frac {1}{2}(\frac{dx}{dt} + F(x))^2 + G(x)]=$ [далее решение из книги Боголюбова] $ = \frac {dx}{dt}(\frac{d^2x}{dt^2} +f(x)\frac{dx}{dt}+g(x)) + F(x)\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt} + F(x))$

Вопросы:
1) как так получилось, что $G(x) = F(x)(\frac{dx}{dt} + F(x))$ ?
2) $(\frac{dx}{dt} + F(x))^2 = (\frac{dx}{dt})^2 + 2F(x)\frac{dx}{dt} + (F(x))^2$ , но как это преобразовать, чтобы получить $\frac {dx}{dt}(\frac{d^2x}{dt^2} +f(x)\frac{dx}{dt}+g(x)) $ ?

[ИСН]

Gdasar в сообщении #916659 писал(а):

$(\frac{dx}{dt} + F(x))^2 = (\frac{dx}{dt})^2 + 2F(x)\frac{dx}{dt} + (F(x))^2$

Это не так. Вы, кажется, неявно пользуетесь утверждением, что от перемены мест сомножителей результат не меняется. А зря.

[Gdasar]

ИСН в сообщении #916666 писал(а):

Это не так.

Эм, а почему?
Я же начал раскручивать это дело изнутри. До умножения я еще не дошел. Или как?

[ИСН]

Равенство, которое я процитировал, в левой части содержит конструкцию с маленькой циферкой два сверху. Маленькая циферка два сверху означает возведение в квадрат. Возведение в квадрат - это умножение себя на себя. Умножение себя на себя - это умножение. Вы дошли до умножения.

[Gdasar]

Хорошо. Но все же как раскрутить?
$\frac {1}{2} \frac {d}{dt}(\frac {dx}{dt} + F(x))^2 = \frac {1}{2} \frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}(\sqrt{\frac{dx}{dt}}+ \frac{F(x)}{\sqrt{\frac{dx}{dt}}})^2 = \frac {1}{2} \frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt} + 2F(x) + \frac {F^2(x)}{\frac{dx}{dt}}) = \frac {1}{2} \frac{dx}{dt}(\frac{d^2x}{dt^2} +2\frac{dF(x)}{dx} + \frac {dF^2(x)}{dx}) = \frac {1}{2} \frac{dx}{dt}(\frac{d^2x}{dt^2} +2\frac{dF(x)}{dx} + 2F(x))$

-- 09.10.2014, 17:03 --

Капец Опять тоже самое написал

-- 09.10.2014, 17:05 --

Дайте,пожалуйста,еще одну подсказку.

[ИСН]

Голову Вы мне заморочили, вот что. А я Вам. Так что уж извините. Последние сто метров копаем не туда.

-- менее минуты назад --

Посмотрев ещё раз свежим взглядом:

Gdasar в сообщении #916659 писал(а):

1) как так получилось, что $G(x) = F(x)(\frac{dx}{dt} + F(x))$ ?

Этого не получалось. С чего Вы это взяли? С того, что левая часть была последним слагаемым в одном большом выражении, а правая - в другом, равном ему?

Gdasar в сообщении #916659 писал(а):

2) $(\frac{dx}{dt} + F(x))^2 = (\frac{dx}{dt})^2 + 2F(x)\frac{dx}{dt} + (F(x))^2$ , но как это преобразовать, чтобы получить $\frac {dx}{dt}(\frac{d^2x}{dt^2} +f(x)\frac{dx}{dt}+g(x)) $ ?

То же самое.

[Gdasar]

Цитата:

С того, что левая часть была последним слагаемым в одном большом выражении, а правая - в другом, равном ему?

Да,я так и подумал. Но почему так подумал не знаю.