Предел функции двух переменных

[Kink]

$\lim_{x\to0, y\to0} {{x^3y^3}\over{x^4+y^4}}$
Как доказать, что он равен или не равен нулю? Пределы по разным направлениям ($y=kx, y=x^2, y=x^3, y=\sqrt{x}$), всегда получается нуль, да и по графику, кажется, что предел существует и равен нулю.
По определению получается, что как только $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$, так сразу $|{{x^3y^3}\over{x^4+y^4}}|<\epsilon$, но никакие соображения не приходят в голову.

[_Ivana]

В таких задачах обычно учат стандартному приему - переходить к полярным координатам и доказывать независимость предела от угла при радиусе стремящемся к нулю.

[Lia]

Kink
Формулы все оформите, если не хотите делать это в Карантине.

А еще есть хорошее неравенство $2|ab|\le a^2+b^2$.

[ewert]

Или даже ещё лучше: $|ab|\le a^2+b^2$...

(ибо про свойства неполного квадрата всем школьникам ещё в школе все уши и прожужжали)

[Munin]

_Ivana в сообщении #916240 писал(а):

В таких задачах обычно учат стандартному приему - переходить к полярным координатам

Здесь удобней сначала перейти к переменным $\xi=x^2,\quad\eta=y^2,$ а потом уже к полярным.

[_Ivana]

Munin Я понимаю, из знаменателя вообще все улетит тогда, а в числителе бесконечно малая на ограниченную и все. Но я, во-первых, хотел хоть что-то оставить ТС-у самому на подумать, а во-вторых, не хотел пасть жертвой санкций за "полное решение учебной задачи", причем мимоходом по глупой случайности зайдя в этот раздел форума после долгого перерыва и не устояв перед соблазном ответить в теме соседней с моей

[Munin]

Чёрт.

Интересно, что нам будет всем вместе, если мы по отдельности сообщили кусочки полного решения учебной задачи? :-)

[_Ivana]

(Оффтоп)

Могу предположить, что по целому замечанию каждому, 50% из которых у каждого будет за одно решение на двоих, а вторые 50% за один оффтоп на двоих.

[ИСН]

_Ivana в сообщении #916240 писал(а):

переходить к полярным координатам и доказывать независимость предела от угла

В последние годы среди входящего потока наблюдаю явный недостаток примеров, попирающих этот приём.
Ну да ладно, пусть хоть так.

[Kink]

Спасибо, получил такое решение:
$lim_{x\to 0, y\to 0}}{{x^3y^3}\over{x^4+y^4}} = lim_{u\to 0, v\to 0}}{{\sqrt{u^3v^3}}\over{u^2+v^2}} = lim_{r\to 0}}{(r\sqrt{sin^3\phi cos^3\phi})} = 0$

Перед просьбой о помощи гуглил примеры, ни разу подобный приём не видел. Возможно, я неправильно ищу...

Через определение с помощью приведенного вами неравенства тоже получилось.

[gris]

ИСН в сообщении #916286 писал(а):

наблюдаю явный недостаток примеров, попирающих этот приём.

А можно более общо: По любому направлению из точки предел равен нулю. И чо?
Хотя красивого примера, заданного одной короткой формулой, и нету <наверное>.
Хотя в тех же полярных координатах: везде ноль, а на $r=\varphi>0$ единичка

[RIP]

(Оффтоп)

gris в сообщении #916359 писал(а):

Хотя красивого примера, заданного одной короткой формулой, и нету <наверное>.

Если забыть про "красивого" и "короткой", а сконцентрироваться на "одной", то (вроде бы) можно взять

$$f(x,y)=\mathrm e^{\tfrac y{y^2+x^{100}}-\tfrac1{x^2+y^{100}}}.$$

Тогда $\lim\limits_{r\to+0}f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)=0$ для любого $\varphi$, но $\lim\limits_{x\to0}f(x,x^4)=+\infty$.
P.S. Это вариация на тему стандартного примера $x\mathrm e^{y-x^2}$, когда $x,y\to\infty$. Наверное, можно как-то изящнее это реализовать.

[gris]

Надеюсь, не в оффтоп будет сказано.
А меня всегда удивляло, что почти все (RIP, это не к Вам, разумеется, относится, а ко мне самому )стремятся найти именно формулу покрасивше и чисто формально получить результат, а не просто представить визуально, скажем, по графику, некий пример или словесно описать и осознано объяснить себе, почему верно или неверно обсуждаемое высказывание.
Конечно, функции коварны, преподы схоластичны, да и ни к чему, наверное. Но вот так для себя, неспешно прогуливаясь по набережной...

[ewert]

Самый простой из известных мне контрпримеров: $u(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$

[ИСН]

Вот-вот, этот самый.