2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 идеал в кольце функций, непрерывных на отрезке
Сообщение11.12.2005, 09:09 
Аватара пользователя
Дано кольцо R = C[0,1] т.е. функций, непрервных на единичном отрезке.
В этом кольце множество функций, равных нулю в точке 1/4, образует идеал I.
I={f из R | f(1/4) =0 }
Доказать, что этот идеал не является главным и вообще не конечно-порожденным.

 
 
 
 
Сообщение13.12.2005, 13:34 
Допустим
I=(g)-главный идеал, порождённый функцией g, g(1/4)=0. Это значит, что любая функция f из I представима в виде f=hg, где h-непрерывная на отрезке [0,1] функция.Отсюда получаем f=O(g), на [0,1]
Но для функции f=|g|^(1/2) (корень из модуля g) в окрестности точки 1/4 такая оценка не имеет места.

Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|gn|^(1/2).

 
 
 
 Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|g
Сообщение13.12.2005, 16:55 
Аватара пользователя
Цитата:
Это значит, что любая функция f из I представима в виде f=hg, где h-непрерывная на отрезке [0,1] функция.Отсюда получаем f=O(g), на [0,1]
Но для функции f=|g|^(1/2) (корень из модуля g) в окрестности точки 1/4 такая оценка не имеет места.
Для случая I=(g1,...,gn) возьмём функцию f=|g1|^(1/2)+...+|gn|^(1/2).


Спасибо за подсказку, но данное решение уже было предложено преподавателю, и случай с главным идеалом был оценен как верный. Тем не менее, для функции

$ \ f(x)=\sqrt|\ g_1| + \sqrt|\ g_2| +... \sqrt|\ g_n| $

возникли затруднения с аналогичной оценкой сомножителей

$ \ h_1 ,  \ h_2 ,... \ h_n $

Проблема в том, что в случае с несколькими порождающими, последние (порождающие) могут иметь множественные нули вблизи (1/4), с условием чтобы они не совпадали у всех одновременно. Ну, кроме точки (1/4) разумеется.

P.S. Для единственной порождающей есть еще решение -

$ \ f(x)=   { |\ g| , x < (1/4)} $
$          f(x)=       { \ g , x > (1/4)} $

 
 
 
 
Сообщение13.12.2005, 17:10 
:) Лень было возиться с оценками. Сейчас уточню.

 
 
 
 
Сообщение13.12.2005, 19:36 
Покажем, что функцию f=sqrt|g_1|+...+sqrt|g_n|
нельзя представить в виде f=h_1*g_1+...h_n*g_n.

Если бы f=h_1*g_1+...h_n*g_n, то |f|<=M(|g_1|+..|g_n|) на [0,1].

Заметим, что |g_1|+...+|g_n|=/=0 при x=/=1/4 (как Вы и отметили).

|f|/(|g_1|+...+|g_n|)=(sqrt|g_1|+...+sqrt|g_n|)/(|g_1|+...+|g_n|)>=sqrt(max|g_k|)/(n*max|g_k|)=
1/(n*sqrt(max|g_k|))->infinity при x->1/4,

что противоречит |f|<=M(|g_1|+..|g_n|).

 
 
 
 
Сообщение14.12.2005, 08:31 
Аватара пользователя
Кажется убедительным. Посмотрим что скажет профессура.

Спасибо Ж8)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group