Количество корней уравнения

[Vova_Gidro]

Указать количество корней уравнения. Ответ обосновать.
$\log_{\frac{1}{2}}(x)+2=2^{2-x}$.

[upgrade]

$(\frac{x}{2})^{2^x}=\frac{1}{2^8}$

[ewert]

Два корня очевидны, а тогда их может быть только три (учитывая, что у функции $2^{2-2^{2-x}}$ лишь один перегиб).

[Vova_Gidro]

ewert

Да, ответ правильный. Это уравнение имеет три корня. А вот на счет этого

ewert в сообщении #914779 писал(а):

учитывая, что у функции $2^{2-2^{2-x}}$ лишь один перегиб

не совсем понял

[ewert]

Если $x=2^{2-2^{2-x}}$, и если у функции справа лишь одни перегиб, то сколько в принципе у такого уравнения может быть решений?... А дальше достаточно учесть, например, значения производной в угаданных корнях.

[Vova_Gidro]

ewert

Спасибо, все понятно. А вот теперь такой вопрос. Можно ли определить, при каком максимальном значении параметра $a$ уравнение $\log_{\frac{1}{a}}(x)+a=a^{a-x}$ имеет три корня?

[ewert]

Vova_Gidro в сообщении #914784 писал(а):

Можно ли определить, при каком максимальном значении параметра $a$ уравнение $\log_{\frac{1}{a}}(x)+a=a^{a-x}$ имеет три корня?

Вряд ли: надо ведь ловить точку касания, а там система уж больно трансцедентненькая выходит.

[Vova_Gidro]

ewert

И еще один вопрос. Вот вы воспользовались тем, что функция имеет справа лишь один перегиб. Это значит, что если функция имеет на отрезке только одну точку перегиба, то на этом отрезке или нет корней или их непарное количество. Правильно ли я вас понял?

[ewert]

Неправильно. Это гарантирует лишь, что корней может быть не более трёх. В данном случае их три, например, потому, что значения производной в угаданных корнях нечаянно одинаковы -- и, следовательно, между ними есть ещё один корень.

[Vova_Gidro]

ewert в сообщении #914789 писал(а):

Это гарантирует лишь, что корней может быть не более трёх. В данном случае их три, например, потому, что значения производной в угаданных корнях нечаянно одинаковы -- и, следовательно, между ними есть ещё один корень.

Спасибо.

[Vova_Gidro]

Vova_Gidro в сообщении #914784 писал(а):

при каком максимальном значении параметра $a$ уравнение $\log_{\frac{1}{a}}(x)+a=a^{a-x}$ имеет три корня?

Вопрос снимается, поскольки при любом $a>2$ уравнение имеет три корня. Поэтому максимального значения $a$ не существует.