Как понимать тензоры?

[мат-ламер]

Обычный начальный подход к пониманию тензора состоит в том, что его определяют как полилинейную функцию, определённую на декартовом произведении определённого количества экземпляров сопряжённого и основного пространства. С таким пониманием у меня всё в порядке. Но тут захотел копнуть глужбе (в будущем хочу понимать физические тексты, в частности по ОТО). В ряде учебников линейной алгебры (Гельфанд, Кострикин) даётся альтернативное определенин тензора, как линейной функции на одном пространстве. Причём это пространство конструируется как тензорное произведение некоторых пространств. Подробности опускаю. поскольку сам только начал этим интересоваться. Меня смущает, что в упомянутых учебниках нет никаких указаний, а собственно для чего это нужно (в рамках тензорного исчисления)? Хотя тензорное произведение широко применяется вообще в математической физике (тензорное произведение представлений, квантовая механика систем, состоящих из нескольких частиц). Смущает также, что популярные тексты по тензорному исчислению (видимо ориентированые на физиков) на понятие тензорного произведения не опираются. Хотя в более абстрактных текстах (Зубилевич, например) - да, есть такое. В связи с этим у меня вопросы. Стоит ли углубляться в это направление? Что оно даёт для понимания тензоров и физических вопросов, за ними стоящих?

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #914616 писал(а):

...В ряде учебников линейной алгебры (Гельфанд, Кострикин) даётся альтернативное определенин тензора, как линейной функции на одном пространстве. Причём это пространство конструируется как тензорное произведение некоторых пространств. ...

С этого места хочется подробностей!

[Portnov]

Цитата:

Так ака для людей, не знакомых с тензорным исчислением, особенно в связи с теорией относительности, слово «тензор» обычно окутано своеобразной мистической дымкой, мы в качестве первого примера объекта рассмотрим обыкновенный компот, состоящий из яблок, изюма и чернослива. Для обозначения всего, что связано с компотом, введём букву $a$ и назовём её главной буквой компота. Элементы компота всегда будем обозначать при помощи его главной буквы с индексом, например $a_1$ — яблоки, $a_2$ — изюм, $a_3$ — чернослив.
...
Дальше мы можем изучать зависимости между различными обозначениями компота и различные преобразования компотов, для чего введём некоторые правила и т.д., иначе говоря, построим из глубины собственного духа некоторое компотное исчисление.

По-моему, замечательно :)
Коренев Г.В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие: Для вузов — М.: Изд-во МФТИ, 2000 — 240 с., с илл. ISBN 5-89155-047-4.

[Brukvalub]

По-моему, такой уровень изложения достоин термина "опущено ниже плинтуса".

[iifat]

Хм. Не понимаю, что вам так не нравится в приведённой цитате. Книгу не читал, но начало одобряю. Если таки автору удалось изложить тензорную теорию с компотом в качестве модели — это здорово, имхо.

[Brukvalub]

Уверен, что "компотные" заигрывания с читателем лишь опошляют изложение, создавая у читающего ложное представление о простоте предмета, но не делают изложение реально проще. Все это напоминает мне учителя словесности из фильма "Республика ШКИД", который для доходчивости изложения грамматики начал распевать с учащимися похабные куплеты и был изгнан из колонии.

[arseniiv]

Дальше-то, наверно, всё строго.

А вообще тут уже были темы про понимание тензоров, и развесистые. И мат-ламер, как будто бы, в них появлялся тоже.

[мат-ламер]

Brukvalub в сообщении #914632 писал(а):

С этого места хочется подробностей!

Подробности в Гельфанде. Параграф 25. Пока непонятно, для чего это всё нужно.

-- Чт окт 02, 2014 21:36:15 --

мат-ламер в сообщении #914616 писал(а):

даётся альтернативное определенин тензора, как линейной функции на одном пространстве. Причём это пространство конструируется как тензорное произведение некоторых пространств.

И линейной функции не надо, если перейти к сопряжённым пространствам. Так, получается что-то типа тензорного произведения матриц. которое я представляю. По-моему, не так всё и сложно.

-- Чт окт 02, 2014 21:39:16 --

arseniiv в сообщении #914657 писал(а):

И мат-ламер, как будто бы, в них появлялся тоже

Я , если говорил про тензоры, то как про полинейную функцию.

[Munin]

Постройте изоморфизм между первым и вторым определением, и дело с концом.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #914660 писал(а):

Brukvalub в сообщении #914632 писал(а):

С этого места хочется подробностей!

Подробности в Гельфанде. Параграф 25. Пока непонятно, для чего это всё нужно.

-- Чт окт 02, 2014 21:36:15 --

мат-ламер в сообщении #914616 писал(а):

даётся альтернативное определенин тензора, как линейной функции на одном пространстве. Причём это пространство конструируется как тензорное произведение некоторых пространств.

...

Так разобрало любопытство, что не поленился и скачал Гельфанда. Как и думал, Гельфанд писал все корректно, и в параграфе 25 тензор у него все-таки является элементом тензорного произведения, а не "линейной функцией на одном пространстве". Линейную функцию он только использует, чтобы первоначально обойти язык категорий и функторов.

[Утундрий]

Тензоры - это такие жучки с торчащими вверх и вниз лапками. Чем этих лапок больше, тем они сильнее жужжат. Бывают жучки без лапок, они особенные. Не жужжат совсем. И если на такого жучка помножить другого, с лапками, то последний будет жужжать так же как до умножения. Жучков можно также и складывать. Но только тех, кто жужжит одинаково. Жучки могут цеплятся лапками. После чего они жужжат тише. Если все лапки сцепились, то такой клубочек жучков совсем не жужжит. А ещё есть лапка Лейбница. Она бродячая. Подкрадывается к клубку жучков слева и как начнёт его распутывать! Целую сумму из одного клубка сотворит и всюду себя один раз всунет.

[iifat]

Утундрий в сообщении #915233 писал(а):

Тензоры - это такие жучки с торчащими вверх и вниз лапками

Начало нового учебника? С удовольствием почитаю, когда выйдет.

[Munin]

Этот учебник уже вышел, только под авторством Пенроуза. "Путь к реальности" называется, можно даже скачать.

[arseniiv]

А лапка Лейбница — это что?

-- Вс окт 05, 2014 19:06:03 --

Видимо, производная, но вдруг не угадал.

[Утундрий]

Производная, конечно. На выбор - или Ли (для бедных) или ковариантная (для оснащённых метрикой).