Формула энного члена последовательности

[Simplar]

Здравствуйте.
Нужна помощь в составлении формулы энного члена последовательности.

Последовательность начинается так: 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0. Дальше эти числа повторяются. То есть последовательность выглядит так: 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1....и так далее.
Как составить формулу энного члена этой прогрессии?
Пробовал использовать метод степенного уравнения, но в результате вышла формула не совсем точная:
$0.833n^4 - 10n^3 + 41n^2 - 63.750n + 32.917$
Считает так:
$n_1 = 1$
$n_2 = 2.745$
$n_3 = 8.140$
$n_4 = 7.165$
$n_5 = 9.792$
Но неправильно.
Как можно вывести для неё корректную формулу? Спасибо за любой совет.

[Shadow]

Похоже на последнюю цифру квадратов

[angor6]

Simplar, перед Вами, как я понимаю, возвратная последовательность. Может быть, прочитав книгу А. И. Маркушевича "Возвратные последовательности", Вы приблизитесь к решению проблемы. Я бы рассмотрел конечные разности...

[Aritaborian]

Постановка проблемы попросту некорректна. Последовательность уже задана десятью членами своего периода; зачем здесь аналитическая формула? Более того, она, как верно заметил Shadow, совпадает с последовательностью последних цифр квадратов.

[arseniiv]

Shadow в сообщении #914323 писал(а):

Похоже на последнюю цифру квадратов

Угу. И потому лучшей формулой будет $n^2\bmod10$.

И вообще, с учётом того, что никаких требований к формуле не предъявлено, можно даже просто прямо написать $\mathsf S[0,1,4,9,6,5,6,9,4,1]_n$. Пока что это обозначение не в ходу, но для представления таких последовательностей оно и задумывалось. Если они часто встречаются в тексте, есть смысл подумать о его введении там.

Aritaborian в сообщении #914328 писал(а):

Постановка проблемы попросту некорректна.

Скорее, недоопределена (бесконечность решений vs. ноль решений для некорректной).

-- Ср окт 01, 2014 23:05:39 --

Кстати, комментарий по поводу

Simplar в сообщении #914316 писал(а):

Пробовал использовать метод степенного уравнения, но в результате вышла формула не совсем точная:
$0.833n^4 - 10n^3 + 41n^2 - 63.750n + 32.917$

Разумеется она будет неточной. И даже не не совсем точной, а совсем не точной, если уйти подальше от нуля. Потому что периодических многочленов пока ещё не встречалось. Правильнее было бы нарисовать ряд Фурье — но это, хотя и даст возможность получить точную формулу, вряд ли нужно, потому что по такой формуле представление о последовательности вряд ли выйдет ясным.

[Aritaborian]

Да, вы правы. Правильнее говорить о недоопределённости.

-- 01.10.2014, 19:08 --

arseniiv в сообщении #914343 писал(а):

Правильнее было бы нарисовать ряд Фурье

И я хотел было расписать что-то этакое с синусами, но решил, что это будет стратегически неверно.

[arseniiv]

Во-во, исходя из контекста. Потому я даже не сразу сообразил сказать, почему именно это тщётно.

[popolznev]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #914328 писал(а):

Постановка проблемы попросту некорректна.

Что же тут некорректного?

А, ой, пардон: это уже обсудили.

[Aritaborian]

popolznev, меня уже поправил arseniiv, и я с ним согласился. Проблема поставлена корректно (аналитическую формулу написать можно), но высосана из пальца.

[popolznev]

Aritaborian, да, простите: мне стоило сперва прочесть всю ветку целиком.

А насчёт "высосанности проблемы" - учебные задачи часто такими бывают, это не страшно.

[arseniiv]

Кость уже обглодана, но я всё же добавлю: а ТС-то контекст не указал! Может, авторы его задачи и имели в виду $n^2\bmod10$, а, может, и не имели, и если взять тогда Фурье, получаются не очень весёлые цифры:

In>  Fourier[{0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1}] // Chop
Out> {14.2302, -5.11667, -3.70246, 1.9544, 0.540182, -1.58114, 0.540182, 1.9544, -3.70246, -5.11667}

[Simplar]

Да, действительно...
Ну и на том спасибо.)

[iifat]

angor6 в сообщении #914324 писал(а):

прочитав книгу А. И. Маркушевича "Возвратные последовательности", Вы приблизитесь к решению проблемы

Кстати говоря, как-то незаслуженно, имхо, забыли совет. А ведь действительно поможет получить формулу. Она, правда, будет сниться по ночам в кошмарах, но $n$-й член таки вычислит.

[ewert]

arseniiv в сообщении #914409 писал(а):

если взять тогда Фурье, получаются не очень весёлые цифры:

In>  Fourier[{0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1}] // Chop
Out> {14.2302, -5.11667, -3.70246, 1.9544, 0.540182, -1.58114, 0.540182, 1.9544, -3.70246, -5.11667}

Интересно, а что это за цифры-то? Вообще-то тригонометрическая интерполяция по чётному количеству узлов некорректна (вообще говоря), т.к. система -- не чебышёвская. Да и независимо от чебышёвости: к чему, собственно, эти коэффициенты относить?...

[g______d]

ewert в сообщении #914457 писал(а):

Интересно, а что это за цифры-то?

Дискретное преобразование Фурье.