2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение29.09.2014, 21:49 
помогите решить.
$\omega_{xy} = f(\omega)$
где функция $f(\omega) =a\omega^k$
в указании написано " представьте рассматриваемое уравнение в виде уравнение Эйлера-Лагнранжа ( $ \frac{\partial L}{\partial \omega} - D_x(\frac{\partial L}{\partial \omega_x}) - D_y(\frac{\partial L}{\partial \omega_y})       $ ) при $y=t$.
Лагранжиан $L$ искать в виде суммы двух слагаемых, одно из которых квадратично по производным, а второе зависит только от $f(\omega)$ "
Как это делается?

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение29.09.2014, 22:01 
Аватара пользователя
Делается просто: запишите общий вид Вашего лагранжиана (словами он уже записан, теперь надо формулами), подставьте в диффур, упростите, а потом смотрите, какой конкретно должен был быть лагранжиан, чтобы получился такой диффур.
А чем Вам это поможет, и при чём тут закон сохранения?

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение29.09.2014, 22:09 
ИСН в сообщении #913805 писал(а):
при чём тут закон сохранения?

В условии моего задания сказано "напишите условия сохранения для нелинейного уравнения".
А как находить Лаграгжиан? Я просто я этим никогда не сталкивался ранее, и хотел бы понять как его находить)

-- 29.09.2014, 23:55 --

правильно ли я представил $\omega_{xy}$
$
\frac{\partial L}{\partial \omega }   - [(  \frac{\partial }{\partial x }  +\omega_x \frac{\partial }{\partial \omega }+\omega_{xx}\frac{\partial }{\partial \omega_x }
+ \omega_{xy}\frac{\partial }{\partial \omega_y })(\frac{\partial L }{\partial \omega_x }) + \\
 (  \frac{\partial }{\partial y }  + \omega_y \frac{\partial }{\partial \omega }+\omega_{xy}\frac{\partial }{\partial \omega_y }
+ \omega_{yy}\frac{\partial }{\partial \omega_y })(\frac{\partial L }{\partial \omega_y }) ]
$

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение29.09.2014, 23:37 
Аватара пользователя
Допишите "=0", вот и будет то же самое, что $\omega_{xy} = f(\omega)$.
(По-моему, эта банальная ситуация не заслуживала Ваших трудов по записыванию всего в таком аккуратном виде, и моих - по пониманию; ну да ладно.)
Теперь какой вид должен (был) иметь лагранжиан, чтобы убились все члены с $\omega_x$ и $\omega_{xx}$?

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение29.09.2014, 23:42 
ИСН в сообщении #913832 писал(а):
Теперь какой вид должен (был) иметь лагранжиан, чтобы убились все члены с $\omega_x$ и $\omega_{xx}$?

$\omega $ не содержит икса?

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение30.09.2014, 00:02 
Аватара пользователя
Не в этом смысле. (А то так бы и $\omega_{xy}$ убилось.) Не $\omega_x$ должна быть равна нулю. Нет.
А вот то, на что она умножена...

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение30.09.2014, 00:18 
$ L = \omega_x \omega_y   -2 F(\omega)$ ,
где
$F(\omega) = \int f(\omega) d\omega$
вроде бы так

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение30.09.2014, 00:37 
Аватара пользователя
Только всё поделить на два и поменять знак с $-$ на $+$. Ведь, смотрите: две $\omega_{xy}$ выскакивают при взятии полных производных. При этом выскакивают с минусом.

Вообще, это уравнение известно под названием f-Гордон. Это если будет желание что-нибудь почитать про его законы сохнанения и симметрии.

-- Пн сен 29, 2014 23:40:06 --

У Вас, кстати, в полной производной $D_y$ опечатка.

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение30.09.2014, 00:45 
да , спасибо. Опечатку заметил. Видио в спешке переписывал. Но в тетради ошибки не допустил.
И да , после того как я нашел L что я должен делать дальше?

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение01.10.2014, 12:47 
Аватара пользователя
olenellus в сообщении #913852 писал(а):
Только всё поделить на два
Это по желанию. Но минус на плюс исправить всё же надо.
apolonka222 в сообщении #913853 писал(а):
И да , после того как я нашел L что я должен делать дальше?
Зависит от того, что вам точно надо, и что до этого было пройдено. Рас Вас заставляют искать лагранжиан, то, видимо, предполагается, что Вы найдёте его симметрии (векторные поля, сохраняющие действие при справедливости равенстве в исходном уравнении). Потом сохраняющийся ток, наверно, предполагается получить из теоремы Нётер.

-- Ср окт 01, 2014 11:49:13 --

Вам же надо, как следует из формулировки задания, обронённой Вами выше, написать условие на симметрию с этим найденным лагранжианом. Видимо так. А были ли какие-либо решения типовых задач? Может, оттуда станет яснее, что от Вас хотят.

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение02.10.2014, 10:45 
Ничего не было. Я никогда раньше этим не занимался. Это у меня спецкурс , который сейчас начался в этом семестре.
насколько я понял , то симметрия ищется
$
\xi\frac{\partial L}{\partial x}   +
\eta\frac{\partial L}{\partial y}+
\zeta\frac{\partial L}{\partial \omega} +
\zeta_1\frac{\partial L}{\partial \omega_x}+
\zeta_2\frac{\partial L}{\partial \omega_y} $

где
$\zeta_1 = \zeta_x + (\zeta_{\omega} - \xi_x)\omega_x - \eta_x\omega_y  - \xi_{\omega}\omega^2_x - \eta_{\omega}\omega_x\omega_y$
$\zeta_2 = \zeta_y  -\xi_y\omega_x  + (\zeta_{\omega} -\eta_{y})\omega_{y}  -\xi_{\omega}\omega_x\omega_y  -\eta_w\omega^2_y$

 
 
 
 Re: закон сохранения для нелинейного уравнения
Сообщение02.10.2014, 15:23 
Аватара пользователя
Если я правильно понял, что Вам нужно (найти законы сохранения для уравнения, воспользовавшись теоремой Нетер), то надо а) решить систему
$X(\omega_{xy}-f(\omega))|_{\omega_{xy}=f(\omega)}=0$
ну т.е. вычислить группу, допускаемую рассматриваемым уравнением (или найти решение в книжке ;); только X нужно продолжить до вторых производных, $+\zeta_{12}\frac{\partial}{\partial\omega_{xy}}$:
$\zeta_{12}=D_y(\zeta_1)-\omega_{xx}D_y(\xi)-\omega_{xy}D_y(\eta)$
б) проверить, что из группы допускается элементарным действием и в) применить теорему Нетер.
Формулы можно глянуть в Ибрагимове или Олвере.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group