Основная теорема арифметики.

[bayah]

Здравствуйте.
В книге Куранта "Что такое математика" есть доказательство основной теоремы арифметики, а точнее единственности разложения натурального числа на простые множители:



У меня вопрос такой: почему только про $p_1$ и $q_1$ оговаривается, что они не должны быть равны ( выделено красным в тексте ) ведь $m$ может не быть наименьшим числом еще и по причине равенства других множителей, например, если $p_1 = q_2$?

[Mihr]

bayah в сообщении #913471 писал(а):

У меня вопрос такой: почему только про $p_1$ и $q_1$ оговаривается, что они не должны быть равны ( выделено красным в тексте ) ведь $m$ может не быть наименьшим числом еще и по причине равенства других множителей, например, если $p_1 = q_2$?

Мне кажется, Вы что-то напутали. Согласно тексту, $m$ является наименьшим числом (из тех, для которых, как временно предполагается, имеется более одного варианта факторизации) по определению, а не в силу того, что какие-то простые делители равны. Так что утверждение "ведь $m$ может не быть наименьшим числом" неверно по определению.
А смысл доказательства в том, что последовательно устанавливаются равенства $p_1$=$q_1$, $p_2$=$q_2$, и так до конца разложения. Вопрос о том, возможно ли здесь равенство $p_1$=$q_2$, в этом доказательстве не рассматривается за ненадобностью. Я понимаю так.

[bayah]

Да, я просмотрел еще раз доказательство, и похоже, что от того, что никакое $p$ не должно быть равно $q$ берется только $p_1$ и $q_1$, а остальные случаи просто не играет роли в доказательстве. А мне казалось что противоречие, к которому приходим в конце могло быть из-за равенства других сомножителей $p$ и $q$.
Тогда все - вопрос снят. Спасибо.