Эффект Доплера

[fronnya]

Посоветуйте, ге можно почитать об эффекте Доплера (все разновидности)? Подробно, с выводами всеми. Только на уровне первого курса.

[Pphantom]

fronnya в сообщении #913167 писал(а):

Посоветуйте, ге можно почитать об эффекте Доплера (все разновидности)? Подробно, с выводами всеми. Только на уровне первого курса.

Берклеевский курс физики, т.1.

[Munin]

Со всеми выводами... проще вывести самому.

1. Берёте пространство-время (скажем, двумерное, $(x,t),$ или четырёхмерное $(x,y,z,t)$), и в нём плоскую волну. Это значит, систему плоскостей (волновых фронтов), которые при $t=0$ (или при другой заданной $t=\mathrm{const}$) образуют плоскости в пространстве, а с учётом времени - бегут с постоянной скоростью.

Пример: в двумерном пространстве-времени плоскости $x-vt=k\lambda,$ где $v,\lambda$ - фиксированные константы (скорость и длина волны), а $k=\ldots,-1,0,1,\ldots$ - произвольный целый параметр. Рекомендуется нарисовать этот пример на графике, и взяв несколько пространственных сечений при разных $t=\mathrm{const},$ убедиться, что он изображает бегущие фронты.

Примечания: опытные студенты могут брать всего две плоскости (этого достаточно), или ковектор расстояния между ними, или экспоненциальную фазу плоской волны вида $e^{2\pi i(x-vt)/\lambda}$ - суть и результат вычислений от этого не изменится.

2. Мы уже отвлеклись от реального точечного источника, но чтобы как-то следить за "источником" волн, надо провести некоторую прямую мировую линию "источника", и по точкам пересечения измерить частоту "испускаемого" излучения.

Пример: в двумерном пространстве-времени линия $x=ut.$ Необходимо, чтобы $|u|<|v|$ из предыдущего примера :-) Тогда точки пересечения будут $t=k\lambda/(u-v),$ и частота (по координате $t,$ которая может не совпадать с собственными часами "источника") будет равна $k/|u-v|.$

3. Самое интересное: совершить необходимые преобразования координат в другую систему отсчёта. Для волн звука - это будет преобразование Галилея, для световых волн - преобразование Лоренца.

4. Точно так же, надо провести прямую мировую линию приёмника, и по точкам пересечения измерить частоту принимаемого излучения.

В результате, у вас получится итоговая формула. Но как видите, здесь такая куча настроечных параметров в промежутке, что перебирать все варианты - ни в какой учебник не влезет.

[Ms-dos4]

ЛЛ II §48, кратко и по делу.

[Munin]

По поводу пункта 2 и "источника" в кавычках: брать расходящиеся из точки сферические волны тоже можно, но это усложнит выкладки, и не принесёт никаких новых результатов. В каждый отдельный момент времени волна, принимаемая приёмником - это плоская волна по прямой линии между источником и приёмником, которая была в какой-то момент испущена источником (который в тот момент мог находиться в другом месте, чем сейчас, очевидно). Ну а в другой момент просто эта линия и волна поворачиваются, и получается другая величина сдвига.

[fronnya]

Munin, я не до конца понял Ваш метод, но я доказал довольно просто для прямолинейного движения, т.е. без всяких углов.
Пусть двумерная система отсчета $K'$ движется относительно $K$ в сторону от неё вдоль оси $Ox$ со скоростью $V$ ($Ox'$ лежит на $Ox$, но начала $K'$ и $K$ не совпадают). Поместим в начало отсчета $K$ какой- нибудь излучатель волн. Тогда, если бы система $K'$ покоилась и находилась на каком- то расстоянии от излучателя, то волна дошла бы до неё за время $T_0$. Но, если $K'$ будет двигаться со скоростью $V$, то время $T$ за которое волна достигнет начала системы $K'$ будет такое:

$$T=T_0+\frac{x}{V} \eqno (1)$$

где $x$- полный путь, который проходит волна. Стало быть, его можно расписать так: $x=vt$, где $v$ скорость волны. Так вот если подставить $x$ в $(1)$, то получим

$$T=\frac {T_0}{1-\frac{v}{V}}$$

$$\omega=\omega_0(1-\frac{v}{V})$$

$$\nu=\nu_0(1-\frac{v}{V})$$

[Munin]

Не понимаю, откуда у вас получается формула (1).

[fronnya]

Munin в сообщении #913603 писал(а):

Не понимаю, откуда у вас получается формула (1).

Это время, за которое волна достигнет приемник, который находится в начале системы $K'$. $T_0$- время, за которое волна бы дошла, если бы система с приемником покоилась, а второй член- это то время, за которое приемник с системой $K'$ пройдет расстояние $x$. А вот $x$- это полный путь, который проходит волна со скоростью $v$ за все время $T$, пока не догонит приемник. Что не так?

[Munin]

Если $V\to 0,$ то $T\to\infty,$ а должно быть $T\to T_0.$

Откуда вы эту формулу получили?

[fronnya]

Munin в сообщении #914038 писал(а):

Если $V\to 0,$ то $T\to\infty,$ а должно быть $T\to T_0.$

Откуда вы эту формулу получили?

Я забыл добавить, что скорость системы координат с приемником много меньше скорости света. Но это сути дела наверное не меняет. Получил я эту формулу так, как я тут написал.

[Munin]

Нет, вы тут не написали, как. Я не могу восстановить ход вашей мысли, и получить ту же формулу. Напишите подробней. (Формулу вида $T=T_0+\ldots$ я получить могу, но вот второе слагаемое получается другим.)

[fronnya]

Munin в сообщении #914046 писал(а):

Нет, вы тут не написали, как. Я не могу восстановить ход вашей мысли, и получить ту же формулу. Напишите подробней. (Формулу вида $T=T_0+\ldots$ я получить могу, но вот второе слагаемое получается другим.)

Хорошо, для начала напишу так: $T=T_0+T'$, $T$- это время, за которое волна догонит приемник, $T_0$- время, за которое волна догнала бы приемник, если бы тот покоился, $T'$- аааа.. я понял, свою ошибку, это время, в течение которого движется сигнал, пока приемник проходит расстояние $x$. Теперь распишем, учитывая, что $V$- это скорость сигнала, а $v$- скорость приемника. И тогда получается эта формула.

-- 30.09.2014, 18:53 --

$T=\frac {T_0}{1-\frac{v}{V}}$, $V$- скорость сигнала, $v$- скорость движения приемника.

[Munin]

fronnya в сообщении #914071 писал(а):

аааа.. я понял, свою ошибку, это время, в течение которого движется сигнал, пока приемник проходит расстояние $x$

Теплее. Но теперь $x$ - это расстояние, которое проходит приёмник, а не волна.

[fronnya]

Munin в сообщении #914107 писал(а):

fronnya в сообщении #914071 писал(а):

аааа.. я понял, свою ошибку, это время, в течение которого движется сигнал, пока приемник проходит расстояние $x$

Теплее. Но теперь $x$ - это расстояние, которое проходит приёмник, а не волна.

fronnya писал(а):

пока приемник проходит расстояние $x$

[Munin]

Хорошо, подогнали формулу под реальность, поменяв смысл нескольких обозначений :-)

На будущее, старайтесь делать наоборот: сначала чётко фиксировать и выписывать смысл всех обозначений, а потом уже разбираться, какие их связывают формулы и соотношения.