Задача двух тел сравнимых масс

[Утундрий]

Почему к двум? Задача одна: движение тела приведенной массы в поле, созданном суммарной неподвижной массой. А поскольку масса движущегося в гравитационном поле тела совершенно не важна, то и запоминать, чему она там равна, вовсе не обязательно. Другое дело - масса центра. Это действительно важно.

[Pphantom]

Munin в сообщении #911636 писал(а):

К двум задачам: одна с суммарной, другая с приведённой. Первая тривиальна, и внимания ей обычно не уделяют.

Все равно одно и то же: в любом из случаев это решение уравнения $\ddot{\vec r} + \frac{\varkappa^2}{r^3} \vec r = 0$. Разница только в виде выражения для $\varkappa^2$.

Ingus в сообщении #911345 писал(а):

Вот это уравнение:
$\ddot r=(1+\alpha)^2(C^2/r^3)-(1+\alpha)Gm_1/r^2$, где $\alpha=m_2/m_1$, $C=v_{20} r_0$

Pphantom в сообщении #911360 писал(а):

если все же скаляр (хотя тогда это не уравнение движения), то что-то отдаленно похожее, но, кажется, тоже нет.

Сел вечером в спокойной обстановке и посчитал. Все-таки это была правда, просто множитель $(1+\alpha)^2$, вылезающий из-за странного выбора $C$, сбивает с толку.

[Ingus]

Munin в сообщении #911618 писал(а):

Там более объёмные выкладки, а в них-то как раз и легко ошибиться.

Я имел ввиду то, что аккуратно выписанная мной в прикладном пакете система в декартовых координатах оттестирована и работает правильно.

-- 25.09.2014, 10:16 --

Pphantom в сообщении #911726 писал(а):

Все-таки это была правда

Что правда? Если то, что я написал правда, то почему в декартовой системе получается другой результат для r(t). И период функции увеличивается с увеличением приведенной массы, а должен уменьшаться...

-- 25.09.2014, 10:21 --

Pphantom в сообщении #911726 писал(а):

вылезающий из-за странного выбора $C$

Странный выбор С обусловлен желанием максимально выделить в уравнении костяк невозмущенного движения радикально малой массы в центральном поле, таким образом, чтобы в предельном переходе $\alpha=0$ уравнение описывало невозмущенное кеплерово движение.

-- 25.09.2014, 11:07 --

А вот где собака то зарыта! У немцев! Потенциальная энергия равна $U=-G(m_1+m_2)\mu/r$ где $\mu$ приведенная масса. Тело приведенной массы движется в поле суммы масс!! Гениально. Но при умножении $(m_1+m_2)\mu$ получаем $m_1m_2$ и $U=-G(m_1m_2)/r$ и выходит, что я записал уравнение правильно, а результат оно дает неправильный... Может я момент импульса неправильно записал?

[Pphantom]

Ingus в сообщении #911777 писал(а):

Что правда?

То, что было процитировано.

Ingus в сообщении #911777 писал(а):

Если то, что я написал правда, то почему в декартовой системе получается другой результат для r(t).

Где именно?

Ingus в сообщении #911777 писал(а):

И период функции увеличивается с увеличением приведенной массы, а должен уменьшаться...

Период какой функции? Ничего периодического Вы вроде не писали.

Ingus в сообщении #911777 писал(а):

Странный выбор С обусловлен желанием максимально выделить в уравнении костяк невозмущенного движения радикально малой массы в центральном поле, таким образом, чтобы в предельном переходе $\alpha=0$ уравнение описывало невозмущенное кеплерово движение.

Оно и так описывает неневозмущенное кеплерово движение, без предельного перехода. Но удобнее было бы использовать в качестве $C$ полный момент импульса системы, не домножая его на что-нибудь еще.

[Ingus]

Pphantom в сообщении #911726 писал(а):

Все равно одно и то же: в любом из случаев это решение уравнения $\ddot{\vec r} + \frac{\varkappa^2}{r^3} \vec r = 0$

У французов все крутится очень красиво. И у меня возник вопрос: к примеру спутник летит на расстоянии (от ц.З.) 42000 км с круговой скоростью. Какую скорость нужно придать телу с массой Земли на расстоянии 42000 км между центрами, чтобы Земля и ее двойник закрутились строго по кругу около центра масса? А?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_%C3%A0_deux_corps

-- 25.09.2014, 11:58 --

Pphantom в сообщении #911790 писал(а):

То, что было процитировано.

То есть я не прав. Ясно.

Pphantom в сообщении #911790 писал(а):

Но удобнее было бы использовать в качестве $C$ полный момент импульса системы, не домножая его на что-нибудь еще.

То есть вот так лучше ? Это правильная запись?
$\ddot r=\frac{M^2}{\mu^2r^3}-\frac{G(m_1+m_2)}{r^2}$
А полный момент системы я правильно записал?
$M=m_1v_1r_1+m_2v_2r_2=m_2v_{20}r_0$ - полный момент импульса системы

-- 25.09.2014, 11:59 --

Вот я так и знал, что с полным моментом что-то не так...

-- 25.09.2014, 12:03 --

Pphantom в сообщении #911790 писал(а):

Где именно?

Ну это не показать. Там 8 ДУ. Но работают правильно)
А обсуждаемое уравнение дает неверный результат...

-- 25.09.2014, 12:26 --

Все. Понял. Какое облегчение!) В начальный момент времени скорость первого тела равна нулю. Семен Семеныч!! Всем спасибо большое за обсуждение.

[DimaM]

Ingus в сообщении #911800 писал(а):

Какую скорость нужно придать телу с массой Земли на расстоянии 42000 км между центрами, чтобы Земля и ее двойник закрутились строго по кругу около центра масса? А?

В $\sqrt{2}$ раз больше, чем у вышеупомянутого спутника.

[Ingus]

DimaM в сообщении #911854 писал(а):

А полный момент системы я правильно записал?
$M=m_1v_1r_1+m_2v_2r_2=m_2v_{20}r_0$ - полный момент импульса системы

И все таки... В начальный момент времени оба тела движутся относительно центра тяжести или одно? Момент импульса как посчитать?

[DimaM]

Ingus в сообщении #912178 писал(а):

В начальный момент времени оба тела движутся относительно центра тяжести или одно? Момент импульса как посчитать?

Вам должно быть виднее - ваша же задача.
По формуле в первом сообщении в начальный момент движется только второе.

[Ingus]

Pphantom в сообщении #911726 писал(а):

Сел вечером в спокойной обстановке и посчитал.

А как момент импульса Вы посчитали? У меня он правильно посчитан или нет?
$M=m_1v_1r_1+m_2v_2r_2=m_2v_{20}r_0$ - полный момент импульса системы

-- 26.09.2014, 11:42 --

DimaM в сообщении #912188 писал(а):

По формуле в первом сообщении в начальный момент движется только второе.

Если оба тела движутся нетрудно показать, что
$M=m_1v_1r_1+m_2v_2r_2=m_2v_{20}r_0$ - полный момент импульса системы
$r_0=r_{10}+r_{20}$
я прав?

[DimaM]

Ingus в сообщении #912196 писал(а):

Если оба тела движутся нетрудно показать, что
$M=m_1v_1r_1+m_2v_2r_2=m_2v_{20}r_0$ - полный момент импульса системы

Относительно центра масс? Тогда это верно только в том случае, если суммарный импульс нулевой.
Вообще, чем дальше, тем менее понятно, чего же вы хотите :(.

[Ingus]

DimaM в сообщении #912204 писал(а):

Вообще, чем дальше, тем менее понятно, чего же вы хотите :(.

Я прочитал у Ньютона, что отношение периода обращения тел сравнимой массы к периоду обращения тела малой массы равно корню из отношения массы большого к сумме масс.
Возникло желание записать уравнение в полярных координатах и найти периоды в том и другом случае через момент и энергию. И вот тут наступили тормоза.
Хотелось бы понять как выглядит момент в первом и втором случае. Известна скорость в перицентре относительно центра масс.

[DimaM]

Ingus в сообщении #912212 писал(а):

Хотелось бы понять как выглядит момент в первом и втором случае. Известна скорость в перицентре относительно центра масс.

Выше вы написали правильную формулу для момента (скорости, естественно, должны быть обе в перицентре или обе в апоцентре).

Ingus в сообщении #912212 писал(а):

Возникло желание записать уравнение в полярных координатах и найти периоды в том и другом случае через момент и энергию.

Кеплер в своем третьем законе как бы намекает, что от момента период не зависит, только от энергии (в систему центра масс, разумеется).

[Ingus]

DimaM в сообщении #912236 писал(а):

Кеплер в своем третьем законе как бы намекает, что от момента период не зависит

Допустим. Большая полуось равна $a=\alpha/2|E|$ где $\alpha=Gm_1m_2$
А период $T=2\pi a^{3/2}\sqrt{m_2/Gm_1m_2}$(у Ландау, для малой массы) . Как запросто получить отсюда отношение периодов в случае малой и немалой массы на понимаю!

[Утундрий]

Выражение для $\alpha$ не верное.

[Ingus]

Утундрий в сообщении #912284 писал(а):

Выражение для $\alpha$ не верное

У Ландау написано $U=-\frac{\alpha}{r}$
Откуда я заключаю, что $\alpha=Gm_1m_2$
И анализ размерности это подтверждает...Что не так то

-- 26.09.2014, 16:28 --

Верно ли утверждение, что сумм. момент импульса тел сравнимой массы, вращающихся около центра тяжести меньше, чем момент импульса тела ничтожной массы, вращающегося около массивного тела, при условии, что в перицентре начальные скорости второго тела относительно центра первого были равны?