Справедливость утверждения

[Twidobik]

Сразу прошу прощения, если написал не в тот раздел и прошу уважаемого модератора в случае необходимости перенести в соответствующий раздел. Спасибо!

В математике существует следующее правило (или как корректнее сказать): "утверждение может быть справедливым в целом ряде частных случаев, но не справедливым вообще". Оно, естественно, распространяется и на многие другие науки.
Но на все ли?
Скажите пожалуйста, существуют ли науки, какие-либо ситуации, моменты, в которых можно по справедливости утверждения в частных случаях сказать, что утверждение справедливо вообще? Быть может, такое возможно даже в математике, но, к сожалению, я не знаю.

[Mihr]

Очевидный ответ: если число вариантов чего-либо конечно, и в каждом из них утверждение справедливо, то оно справедливо и в общем случае.
Вот простейший пример:
Доказать, что при каждом натуральном $n$ число $n^3-n$ делится на 6.
В принципе, можно решать так: число $n$ при делении на 3 может дать в остатке 0, 1 или 2, то есть, возможны 3 случая:
1) $n=3k$
2) $n=3k+1$
3) $n=3k+2$
Разбираем эти случаи по очереди и убеждаемся, что в каждом из этих случаев $n^3-n$ делится на 6.
Значит, $n^3-n$ делится на 6 при каждом натуральном $n$.
Годится такой пример?

[Twidobik]

Mihr, спасибо за ответ!
Но ведь в Вашем примере как раз и разобраны все возможные случаи, иных просто быть не может. Получается, что общий случай (как мне это видится, быть может, я ошибаюсь) разбит на три частных, и, доказав эти три частных случая, конечно, общее тоже верно.
Мне же интересно, возможна ли такая ситуация где-либо, чтобы, проверив несколько элементов, несколько частных утверждений (не все!), сделать вывод о справедливости или не справедливости общего утверждения.

[Mihr]

Twidobik в сообщении #911072 писал(а):

Мне же интересно, возможна ли такая ситуация где-либо, чтобы, проверив несколько элементов, несколько частных утверждений (не все!), сделать вывод о справедливости или не справедливости общего утверждения.

Разумеется, нет, если говорить строго. Для математики - однозначно, нет. Вот классический пример.
Рассмотрим трёхчлен $x^2+x+41$, на который обратил внимание ещё Л. Эйлер. Подставим в этот трёхчлен вместо $x$ нуль, получим простое число 41. Подставим теперь в этот же трёхчлен вместо $x$ единицу, получим опять простое число 43. Продолжая подставлять в трёхчлен вместо $x$ последовательно 2, 3, 4, 5, 6, ... , 39, получаем всякий раз простое число 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151... Можно ли утверждать на этом основании, что при подстановке вместо $x$ любого целого неотрицательного числа всегда в результате получается простое число? Нет, разумеется. И действительно, при $x$ равном 40 или 41 простое число уже не получается.
Вообще, вывод о предмете (явлении) в целом на основании рассмотрения ограниченного числа частных случаев называют неполной индукцией. В математике неполная индукция не имеет доказательной силы, но служит основанием для формулирования гипотезы, которую иногда удаётся доказать методом полной индукции.
Иное дело - естественные науки. Если (говоря условно) в десяти тысячах экспериментов при данных условиях наблюдается данное явление, то физик смело делает вывод о том, что в данных условиях это явление будет наблюдаться всегда. И это утверждение считается верным до тех пор, пока/если не будет установлено (опять же, экспериментально), что это всё же не так.

[alcoholist]

Twidobik
Вы будете удивляться, но в достаточно сложных теориях существуют утверждения, для которых невозможно установить их справедливость/несправедливость.

[Twidobik]

Mihr в сообщении #911094 писал(а):

Иное дело - естественные науки. Если (говоря условно) в десяти тысячах экспериментов при данных условиях наблюдается данное явление, то физик смело делает вывод о том, что в данных условиях это явление будет наблюдаться всегда. И это утверждение считается верным до тех пор, пока/если не будет установлено (опять же, экспериментально), что это всё же не так.

Mihr, вот это мне и было интересно узнать. Что в определенных науках, например, в физике, из истинности огромного количества частных утверждений делают вывод об истинности общего утверждения (или как Вы сказали, если в определенном количестве экспериментов наблюдается данное явление, то физик сделает вывод о том, что оно в данных условиях будет наблюдаться всегда).
Но позвольте все же уточнить: такой вывод физика носит характер предположительный, то есть на основании проделанных опытов он предполагает, что данное явление в данных условиях будет наблюдаться всегда, или это будет считаться конкретным установленным фактом, пока экспериментальным путем не найдут опровержение?

-- 23.09.2014, 23:02 --

alcoholist, Вы имеете ввиду, что для некоторых утверждений абсолютно точно известно, что невозможно установить их справедливость/несправедливость?
А не могли бы Вы дать ссылку на подобные утверждения или они очень сложны для понимания человека без математического образования?

[Mihr]

Twidobik в сообщении #911144 писал(а):

Но позвольте все же уточнить: такой вывод физика носит характер предположительный, то есть на основании проделанных опытов он предполагает, что данное явление в данных условиях будет наблюдаться всегда, или это будет считаться конкретным установленным фактом, пока экспериментальным путем не найдут опровержение?

Как Вам сказать... Чёткой границы между этими ситуациями здесь нет. Пока экспериментальная база относительно невелика, это, разумеется, гипотеза. Но чем больше количество экспериментов, подтверждающих гипотезу (при отсутствии противоречащих ей примеров), тем крепче уверенность физиков в справедливости этой гипотезы. После (говоря условно) миллионов подтверждений гипотеза считается законом, установленным экспериментально.
Например, закон сохранения энергии или закон всемирного тяготения были установлены именно так - эмпирически. Эти законы выдержали экспериментальную проверку немыслимое число раз и сегодня считаются одними из фундаментальных законов природы. Хотя открывшие их люди пришли к формулировке этих законов на основании неполной индукции. Для естественных наук это обычная ситуация.

[epros]

Twidobik в сообщении #910675 писал(а):

Скажите пожалуйста, существуют ли науки, какие-либо ситуации, моменты, в которых можно по справедливости утверждения в частных случаях сказать, что утверждение справедливо вообще? Быть может, такое возможно даже в математике, но, к сожалению, я не знаю.

Проблема в том, что не существует общего определения понятия «вообще». Т. е., скажем, в рамках арифметики Пеано утверждение «не существует числа меньше нуля» является «справедливым вообще», но для целых чисел оно ложно.

Twidobik в сообщении #911144 писал(а):

alcoholist, Вы имеете ввиду, что для некоторых утверждений абсолютно точно известно, что невозможно установить их справедливость/несправедливость?
А не могли бы Вы дать ссылку на подобные утверждения или они очень сложны для понимания человека без математического образования?

См. в википедии теорему Гудстейна. Её можно сформулировать в арифметике Пеано первого порядка, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Mihr в сообщении #911175 писал(а):

Например, закон сохранения энергии или закон всемирного тяготения были установлены именно так - эмпирически. Эти законы выдержали экспериментальную проверку немыслимое число раз и сегодня считаются одними из фундаментальных законов природы. Хотя открывшие их люди пришли к формулировке этих законов на основании неполной индукции. Для естественных наук это обычная ситуация.

Физические теории являются моделями природных явлений, никто уже давно не придаёт им более глубокого метафизического смысла. В частности, закон всемирного тяготения Ньютона уточняется общей теорией относительности. А закон сохранения энергии по-сути является частью определения понятия энергии, кое неоднократно уточнялось.

-- Ср сен 24, 2014 10:42:31 --

Да, кстати, а неполная индукция как метод — осуждаема.

[Mihr]

epros в сообщении #911311 писал(а):

Физические теории являются моделями природных явлений, никто уже давно не придаёт им более глубокого метафизического смысла.

Ну, о метафизике здесь речь, к счастью, не шла. Да и утверждения обо «всех» (типа «никто не придаёт…») выглядят чрезмерно категорично.

epros в сообщении #911311 писал(а):

В частности, закон всемирного тяготения Ньютона уточняется общей теорией относительности.

Вы имеете в виду трактовку гравитации как «искривления пространства»? Но как раз это и есть теоретическая модель, которая может, в принципе, оказаться и несостоятельной. И в этом случае будет отброшена и заменена другой моделью. Что никак не повлияет на справедливость самого закона всемирного тяготения. Кстати, именно потому, что этот закон установлен не «умозрительно», а эмпирически.

epros в сообщении #911311 писал(а):

А закон сохранения энергии по-сути является частью определения понятия энергии

Всё более удивительно. Каким образом вообще закон может быть частью определения? Относительно закона естественно ставить вопрос о его обосновании, об области его применимости, о степени его справедливости. А по отношению к определению подобные вопросы просто бессмысленны.
Закон — это утверждение, определение — это название. Утверждение может быть справедливым или несправедливым. Название не может быть ни тем, ни другим.

epros в сообщении #911311 писал(а):

Да, кстати, а неполная индукция как метод — осуждаема.

Надо же… Кем осуждаема и за что? Но главное: как без неё обойтись? Неполная индукция — основа для формирования научных гипотез в естественных науках. И целый ряд математических гипотез был сформулирован (но, конечно, не доказан) именно на основе неполной индукции.

[epros]

Mihr в сообщении #911369 писал(а):

Да и утверждения обо «всех» (типа «никто не придаёт…») выглядят чрезмерно категорично.

Выскажусь чуть менее категорично: Кто придаёт, тот остался на уровне понимания 18 века.

Mihr в сообщении #911369 писал(а):

Вы имеете в виду трактовку гравитации как «искривления пространства»? Но как раз это и есть теоретическая модель, которая может, в принципе, оказаться и несостоятельной. И в этом случае будет отброшена и заменена другой моделью. Что никак не повлияет на справедливость самого закона всемирного тяготения. Кстати, именно потому, что этот закон установлен не «умозрительно», а эмпирически.

Я о том, что ОТО предсказывает поправки к наблюдаемым эффектам тяготения, которые уже довольно надёжно подтверждены эмпирически.

Mihr в сообщении #911369 писал(а):

Всё более удивительно. Каким образом вообще закон может быть частью определения? Относительно закона естественно ставить вопрос о его обосновании, об области его применимости, о степени его справедливости. А по отношению к определению подобные вопросы просто бессмысленны.
Закон — это утверждение, определение — это название. Утверждение может быть справедливым или несправедливым. Название не может быть ни тем, ни другим.

Вы наверняка просто не в курсе, что с формальной точки зрения любое определение — это тот же набор аксиом. В частности, в определение понятия энергии закон сохранения заложен аксиоматически. Разумеется, обнаружение нового вида энергии формально означает нарушение старой формулировки закона сохранения. Что в свою очередь делает старое определение понятия энергии бесполезным.

Mihr в сообщении #911369 писал(а):

epros в сообщении #911311 писал(а):

Да, кстати, а неполная индукция как метод — осуждаема.

Надо же… Кем осуждаема и за что?

«Научными кругами» А за что: За высокую вероятность ошибок.

Mihr в сообщении #911369 писал(а):

Но главное: как без неё обойтись? Неполная индукция — основа для формирования научных гипотез в естественных науках. И целый ряд математических гипотез был сформулирован (но, конечно, не доказан) именно на основе неполной индукции.

Основой для формирования гипотез могут быть даже сны. А проверка гипотез конечным количеством экспериментов нынче вовсе не расматривается как доказательство неполной индукцией. Хотя похоже, но есть тонкости различий.

[Twidobik]

Mihr, epros, alcoholist, благодарю Вас за помощь, более менее разобрался в этом вопросе!

[Mihr]

epros в сообщении #911398 писал(а):

Вы наверняка просто не в курсе, что с формальной точки зрения любое определение — это тот же набор аксиом.

Малопонятное утверждение. Что значит: "с формальной точки зрения"? В рамках некой аксиоматической теории? В рамках методологии? Философии? Ещё чего-либо? Поясните, пожалуйста. И, раз уж Вы говорите о любом определении, то позвольте спросить, какие аксиомы "заложены" в следующее определение: "термометр - прибор для измерения температуры"? Аксиома о существовании функции состояния, называемой температурой? Аксиома о принципиальной измеримости температуры (с некоторой точностью)? Аксиома о возможности конструирования прибора для измерения оной величины? Или, может быть, ещё целый список каких-то загадочных аксиом?

epros в сообщении #911398 писал(а):

«Научными кругами» А за что: За высокую вероятность ошибок.

Что такое «научные круги», я плохо понимаю, поэтому возражать не стану. А по поводу ошибок... Не ошибается лишь тот, кто ничего не делает. Выбросим из своего арсенала неполную индукцию - и уже никогда не ошибёмся. Потому что без неё просто не сдвинемся с места.

epros в сообщении #911398 писал(а):

Основой для формирования гипотез могут быть даже сны.

Сны (в смысле, видения во время процесса сна) - отнюдь не бессмыслица. Это результат работы подсознания, не прекращающейся и тогда, когда тело отдыхает. Во сне можно действительно получить решение задачи. И противопоставление снов неполной индукции (или даже вообще мышлению) вряд ли уместно. Человек - не исполнитель алгоритмов. Человеческое мышление ассоциативно. Мы можем по фрагментам картины более или менее успешно воссоздать её целиком. Машина на это, по-видимому, неспособна. И неполная индукция для человека может оказаться весьма продуктивной. Вот для машины она, вероятно, бесполезна.

epros в сообщении #911398 писал(а):

А проверка гипотез конечным количеством экспериментов нынче вовсе не расматривается как доказательство неполной индукцией.

Совершенно непонятное утверждение. Не рассматривается в рамках чего? Формальных аксиоматических теорий? Прикладной математики? Физики? Методологии? Чего-то ещё? Боюсь, Вы сейчас проецируете собственный образ мышления на "весь учёный мир". Впрочем, хотел бы ошибиться.

[epros]

Mihr в сообщении #911531 писал(а):

Малопонятное утверждение. Что значит: "с формальной точки зрения"? В рамках некой аксиоматической теории? В рамках методологии? Философии? Ещё чего-либо? Поясните, пожалуйста.

В рамках математической логики. Если Вы попробуете найти определение любого математического понятия (выбирайте на вкус: группа, алгебра, поле, множество... ), то обнаружите некий список аксиом. С чего бы это?

Mihr в сообщении #911531 писал(а):

И, раз уж Вы говорите о любом определении, то позвольте спросить, какие аксиомы "заложены" в следующее определение: "термометр - прибор для измерения температуры"? Аксиома о существовании функции состояния, называемой температурой? Аксиома о принципиальной измеримости температуры (с некоторой точностью)? Аксиома о возможности конструирования прибора для измерения оной величины? Или, может быть, ещё целый список каких-то загадочных аксиом?

Одна совсем не загадочная аксиома, которую Вы только что сформулировали: О равенстве объекта со свойством «являться термометром» объекту со свойствами «являться прибором» и «измерять температуру».

Mihr в сообщении #911531 писал(а):

Человек - не исполнитель алгоритмов. Человеческое мышление ассоциативно. Мы можем по фрагментам картины более или менее успешно воссоздать её целиком. Машина на это, по-видимому, неспособна.

Паровая — наверное неспособна...

Mihr в сообщении #911531 писал(а):

epros в сообщении #911398 писал(а):

А проверка гипотез конечным количеством экспериментов нынче вовсе не расматривается как доказательство неполной индукцией.

Совершенно непонятное утверждение. Не рассматривается в рамках чего? Формальных аксиоматических теорий? Прикладной математики? Физики? Методологии?

Методологии естественных наук — тех, в которых теории подтверждают экспериментами.

Есть некоторая методологическая разница между «просто разрешить неполную индукцию в качестве метода подтверждения» и «считать более или менее подтверждёнными только теории, проверенные в соответствии с достаточно строгими правилами» (хотя количество экспериментов и остаётся конечным).

[Mihr]

epros в сообщении #911588 писал(а):

В рамках математической логики. Если Вы попробуете найти определение любого математического понятия (выбирайте на вкус: группа, алгебра, поле, множество... ), то обнаружите некий список аксиом.

Однако, к математическим понятиям относятся не только алгебраические структуры. То, что определение поля или группы включает в себя аксиомы, — это не самая свежая новость. Сложнее будет обнаружить аксиому, ну, скажем, в определении радиуса кривизны линии. В курсе дифференциальной геометрии, насколько помнится, это звучит так: «величина, обратная кривизне линии в данной точке, называется радиусом кривизны линии в этой точке». Вполне чёткое определение. Вот только обнаружить в нём какие-либо аксиомы я не могу. Как, впрочем, и в алгебре (о которой Вы упоминаете). Именно: «алгеброй называется алгебраическая структура, сигнатура которой не содержит отношений (но содержит хотя бы одну операцию)». Опять же, каких-либо аксиом я здесь не вижу...
Но самое главное: пусть даже определение состоит из аксиом. Это мало что меняет. Аксиомы не бывают истинными или ложными. Они могут быть лишь совместными или несовместными. Однако, «физический закон» может быть справедлив или несправедлив. Ещё раз: «закон» — это утверждение, а не название. Каким образом он может входить в определение? Следует ли понимать Вас так: мы должны отвлечься от того факта, что справедливость закона сохранения энергии установлена эмпирически, положить этот закон «справедливым по определению» и включить в определение энергии? Мне кажется, польза от такого манипулирования весьма сомнительна.

epros в сообщении #911588 писал(а):

О равенстве объекта со свойством «являться термометром» объекту со свойствами «являться прибором» и «измерять температуру».

Вон оно что... То есть, если я скажу: «Назовём объектом $N$ то, что обладает набором свойств $a, b, c$», то Вы замените мою формулировку «аксиомой о равенстве объекта $N$ объекту со свойствами $a, b, c$». Я Вас правильно понял? Может быть, подобное манипулирование понятиями и служит какой-то цели. Но пока оно мне кажется бессмысленным.

epros в сообщении #911588 писал(а):

Паровая — наверное неспособна...

Я полагаю, не только паровая. Ни одна из существующих ныне машин мыслить не способна. Всё, что умеют делать самые «умные» машины (компьютеры), — выполнять алгоритмы. Всё, что умеет «мозг» компьютера — процессор — складывать двоичные числа. Поправьте меня, если я ошибаюсь.

epros в сообщении #911588 писал(а):

Есть некоторая методологическая разница между «просто разрешить неполную индукцию в качестве метода подтверждения» и «считать более или менее подтверждёнными только теории, проверенные в соответствии с достаточно строгими правилами» (хотя количество экспериментов и остаётся конечным).

Вероятно, речь о том, что эксперименты, призванные подтвердить (или опровергнуть) гипотезу, должны ставиться не при случайных значениях параметров, а при наборе параметров, выбранном по некоторым правилам (или даже по определённой системе)? Это не так уж принципиально. Во всяком случае, это не отменяет того факта, что «подтверждение экспериментом» имеет в своей основе именно неполную индукцию.

[epros]

Mihr в сообщении #911791 писал(а):

Сложнее будет обнаружить аксиому, ну, скажем, в определении радиуса кривизны линии.

Попробуйте по образцу определения термометра.

Mihr в сообщении #911791 писал(а):

Но самое главное: пусть даже определение состоит из аксиом. Это мало что меняет. Аксиомы не бывают истинными или ложными. Они могут быть лишь совместными или несовместными. Однако, «физический закон» может быть справедлив или несправедлив. Ещё раз: «закон» — это утверждение, а не название. Каким образом он может входить в определение?

Ещё раз: входить он может ровно таким же образом, как входят аксиомы. Относительно справедливости или несправедливости: Если некая аксиоматика (как целое) не подходит под Вашу предметную область, то Вы её к этой предметной области не применяете. Т. е. можете считать «несправедливой» для данной предметной области. Само определяемое аксиоматикой понятие от этого не становится противоречивым, оно просто становится бесполезным: Как понятие теплорода в современной термодинамике.

Mihr в сообщении #911791 писал(а):

Следует ли понимать Вас так: мы должны отвлечься от того факта, что справедливость закона сохранения энергии установлена эмпирически, положить этот закон «справедливым по определению» и включить в определение энергии? Мне кажется, польза от такого манипулирования весьма сомнительна.

Отвлекаться ни от чего не надо, ибо одно другому не противоречит: Понятие полной энергии умышленно определяется таким образом, чтобы для него выполнялся закон сохранения. Но при этом его выполнение, разумеется, проверяется на практике. Если вдруг окажется, что он не выполняется, значит определение придётся скорректировать. Только и всего.

Mihr в сообщении #911791 писал(а):

То есть, если я скажу: «Назовём объектом $N$ то, что обладает набором свойств $a, b, c$», то Вы замените мою формулировку «аксиомой о равенстве объекта $N$ объекту со свойствами $a, b, c$». Я Вас правильно понял? Может быть, подобное манипулирование понятиями и служит какой-то цели. Но пока оно мне кажется бессмысленным.

Это не манипулирование, а единственный известный способ формализации определений.

Mihr в сообщении #911791 писал(а):

Ни одна из существующих ныне машин мыслить не способна. Всё, что умеют делать самые «умные» машины (компьютеры), — выполнять алгоритмы. Всё, что умеет «мозг» компьютера — процессор — складывать двоичные числа. Поправьте меня, если я ошибаюсь.

Поправляю, Вы ошибаетесь. Если отвлечься от ограниченности ресурсов времени и памяти, то «выполнять алгоритмы» — это самый общий из известных на сегодня способов решения любых задач. Т. е. никаких оракулов, способных решать задачи посредством «гениального озарения» или «всплеска интуиции» доселе не открыто. И человек таковым оракулом не является. Термин «мыслить» с моей точки зрения эквивалентен решению задач (разного рода). А отсюда следует, что никаких особых мыслительных способностей, недоступных компьютерам, у человека пока не открыто. Так что все проблемы искусственного интеллекта — сугубо технические.

Mihr в сообщении #911791 писал(а):

Вероятно, речь о том, что эксперименты, призванные подтвердить (или опровергнуть) гипотезу, должны ставиться не при случайных значениях параметров, а при наборе параметров, выбранном по некоторым правилам (или даже по определённой системе)? Это не так уж принципиально.

Не только. Требования могут быть достаточно сложными и трудно формализуемыми. Но, если кратко резюмировать, способы проверки теории должны быть адекватны её предполагаемому применению. И не следует забывать, что результатом проверки является не «заключение об истинности», а всего лишь заключение о предположительной применимости к соответствующей предметной области.

Mihr в сообщении #911791 писал(а):

Во всяком случае, это не отменяет того факта, что «подтверждение экспериментом» имеет в своей основе именно неполную индукцию.

Вы можете назвать это неполной индукцией, однако как метод она осуждаема. Ибо такой метод был бы чреват слишком многими злоупотреблениями.