Хитрый экстремум

[TR63]

Предлагаемая задача является упрощённым вариантом усиления одной здешней задачи. И она, т.е. предлагаемая задача, имеет красивое решение. Поэтому я вынесла её в отдельную тему.
Для $0\le c\le a\le\frac1 4$ докажите неравенство:

$$80a^3+3(33c-58)a^2+2(46c^2-74c+60)a+(33c^3-74c^2+54c-26)\le0$$

Т.е. экстремум не больше нуля.

[TR63]

Для доказательства надо воспользоваться свойством: если многочлен третьей степени на промежутке имеет один действительный корень и на концах промежутка имеет одинаковые знаки, то многочлен на этом промежутке имеет постоянный знак. Т.е. надо определить количество корней. Разумеется, по формуле Кардано этого делать не стоит. Можно воспользоваться теоремой Гурвица об устойчивости многочленов. Лучше взять простую формулировку (без определителей).
Эта задача является фрагментом следующей задачи: для неотрицательных переменных доказать неравенство при $a+b+c=1$

$f=(\frac1 a+\frac1 b+\frac1 c-3)^2-4(\frac1 a+\frac1 b+\frac1 c)(\frac1 abc+\frac1 bac+\frac1 cab)$
$f_1\ge\{a(a-1)(2a-1)-c(c-1)(2c-1)\}^2$,
где (a,c) это те две переменные из трёх (a,b,c), которые находятся по одну сторону от $(\frac1 4)$, т.е. они одновременно не больше, либо одновременно не меньше $(\frac1 4)$.$f_1$ получается из f после подстановки $b=1-a-c$.
В чём хитрость задачи? Надо выяснить, случайно или закономерно появилась $(\frac1 4)$. У меня она появилась при исследовании гипотетически общего свойства перестановочных функций. Далее я его экстраполировала на соответствующий класс перестановочных функций. И всё сошлось. Т.е. получилось доказать предлагаемое неравенство. Там, кроме теоремы Гурвица, будет ещё одна изюмина. (Арифметики много, но с вольфрамом она проста).

[arqady]

TR63 в сообщении #950272 писал(а):

(Арифметики много, но с вольфрамом она проста).

На олимпиаде не разрешается пользоваться даже калькулятором.

[TR63]

Да, вторая задача (не первая) очень громоздкая. Но она была интересна мне в качестве материала для иллюстрации гипотетического свойства перестановочных функций. Т.е., я взяла пару простейших перестановочных функций, удовлетворяющих моей универсальной гипотезе, формулировка которой находится в теме "Гипотетическая теория устойчивости" (в дискуссионном разделе), и экстраполировала его на эту страшную функцию. И всё сошлось. Попутно доказалось и Ваше, arqady, неравенство в усиленном варианте.

[TR63]

TR63 в сообщении #950272 писал(а):

$f_1$ получается из f после подстановки $b=1-a-c$.

С учётом, что
$f_1=(abc)f$.
Для того, чтобы доказать, что $f\ge0$, достаточно доказать, что $f_1\ge0$.
$f_1=(A_1+A_2)+ac(A_3+A_4+A_5)$

$A_1=a^2(4a^4-12a^3+13a^2-6a+1)=[a(a-1)(2a-1)]^2$

$A_2=c^2(4c^4-12c^3+13c^2-6c+1)=[c(c-1)(2c-1)]^2$

$A_3=12c^4+(33a-34)c^3+(46a^2-74a+34)c^2$

$A_4=(33a^3-74a^2+54a-14)c$

$A_5=(12a^4-34a^3+34a^2-14a+2)$

В области, когда две из трёх переменных находятся левее $(\frac1 4)$, неравенство можно считать доказанным, с учётом доказанности вспомагательного исходного неравенства. Остаётся доказать, когда две из трёх переменных находятся правее $\frac1 4$. (Здесь нужен небольшой трюк (преобразование), чтобы дальнейшее пошло по известной схеме. В результате докажется усиленное неравенство.)

[TR63]

TR63 в сообщении #952477 писал(а):

С учётом, что
$f_1=(abc)f$.

Исправление опечатки:
$f_1=(abc)^2f$