Строгое определение понятия "асимптотика"

[worm2]

Из чистого любопытства возник такой вопрос: не занимался ли кто-либо настолько плотно понятием "асимптотика", чтобы определить его строго?

Например: из множества всех неотрицательных, неубывающих с какой-то точки на $\mathbb{R}_+$ функций можно попробовать вычленить множество "хороших" функций, растущих "регулярно" (например, функция $x+\sin x$ растёт "нерегулярно", а $x^2+\sqrt{x}+1/x$ — "регулярно"), и получившееся множество разбить на классы эквивалентности: $f\sim g$, если $\lim\limits_{x\to\infty}(f-g) = 0$. Таким образом, каждой "хорошей" функции сопоставляется класс эквивалентности, который можно с гордостью назвать её асимптотикой. На мой взгляд, тут просматривается что-то похожее на порядковое число.

Или можно попробовать учинить более грубую классификацию: $f\sim g$, если $\lim\limits_{x\to\infty}(f/g) < \infty$

[Munin]

Боюсь, бяка в существовании таких пределов. Если требовать, чтобы они все существовали, то множество "хороших" функций получается слишком узким и неинтересным (например, только полиномиальные).

[alcoholist]

worm2 в сообщении #908037 писал(а):

Или можно попробовать учинить более грубую классификацию: $f\sim g$, если $\lim\limits_{x\to\infty}(f/g) < \infty$

кажется, есть такие эквивалентности... $f\sim g$, если $c<f/g < C$ при больших $x$

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

[Red_Herring]

$f\asymp g$, если $c<|f/g| < C$ (т.е. $f=O(g)$ и $g=O(f)$)

$f\sim g$, если $\lim f/g =1$

[Sonic86]

В Фихтенгольце есть обертывающие асимптотические ряды (2-й том, конец главы 12 (хотя нет, вру: асимптотические ряды есть в де Брейне в 1.5.)), какие-то определения там были. Задавалась система функций $\varphi_n(x)$ такая, что $\varphi_1(x)\succ \varphi_2(x)\succ...$ (хотя м.б. и отношение наоборот) и в нее раскладывалась $f(x)$:
Если верно, что
$f(x)=O(\varphi_0(x))$
$f(x)=c_0\varphi_0(x)+O(\varphi_1(x))$
$f(x)=c_0\varphi_0(x)+c_1\varphi_1(x)+O(\varphi_2(x))$
...
то $c_0\varphi_0(x)+c_1\varphi_1(x)+...$ - асимптотический ряд для $f(x)$.
Но понятно, что не все функции будут раскладываться в нем (требуется как минимум несчетное число таких функций).

(Оффтоп)

И еще если там пытаться во множестве функций вводить метрику или норму, то она будет неархимедова

worm2 в сообщении #908037 писал(а):

из множества всех неотрицательных, неубывающих с какой-то точки на $\mathbb{R}_+$ функций можно попробовать вычленить множество "хороших" функций, растущих "регулярно" (например, функция $x+\sin x$ растёт "нерегулярно", а $x^2+\sqrt{x}+1/x$ — "регулярно")

В "Конкретной математике" был описан подобный класс - класс логарифмически-экспоненциальных функций $L$ (по Харди):
1) $f(n)=C\in L$
2) $f(n)=n\in L$
3) $f(n),g(n)\in L\Rightarrow f(n)-g(n)\in L$
4) $f(n)\in L\Rightarrow \exp f(n)\in L$
5) $f(n)\in L, f(n)>0 \ \text{for} \ n>n_0 \Rightarrow \ln f(n)\in L$
Для них можно искать асимптотику.

worm2 в сообщении #908037 писал(а):

Таким образом, каждой "хорошей" функции сопоставляется класс эквивалентности, который можно с гордостью назвать её асимптотикой.

Обычно еще и выбирается представитель класса. С выбором представителя обычно сложнее. А без его выбора нетривиальность вопроса "какова асимптотика функции $f(x)$" ускользает: спросят нас "чему равна асимптотика $\ln 2x$", а мы тогда можем ответить, что она равна $\ln 2x$.
Кстати, Вас в качестве асимптотики интересует только "первый член" или "весь ряд"?

[worm2]

Спасибо!

Sonic86 писал(а):

...класс логарифмически-экспоненциальных функций...

Да, Харди этим классом практически закрыл тот вопрос, который меня интересовал. Остались, правда, ещё экзотические случаи вроде функций, растущих быстрее или медленнее любой функции этого класса, но "основной класс асимптотических функций" уже очень хорош.

Sonic86 писал(а):

Кстати, Вас в качестве асимптотики интересует только "первый член" или "весь ряд"?

Ну, с "первым членом", кажется, теперь более-менее понятно. Конечно, "весь ряд" тоже представляет интерес. Похоже на "сумму", вообще говоря, бесконечного, возможно, даже континуального, числа слагаемых из "основного класса". Что-то типа меры на этом классе. Конечно, тут ещё далеко до формального определения.