Компактный оператор

[cool.phenon]

Может ли произведение непрерывных (обязательно не компактных) линейных операторов быть компактным? Не могу подобрать пример

[Brukvalub]

Произведение двух проекторов вообще нулем может быть!

[cool.phenon]

Тогда не пойму, где в доказательстве ошибка:

Пусть $A$,$B$ -- линейные непрерывные операторы, причём $AB$ -- компактный. Для удобства примем, что $B: X \to Y$, $A:Y \to Z$, $X,Y,Z$ -- банаховы . Тогда $AB: X\to Z$; рассмотрим ограниченное множество $S \subset X$. Поскольку $AB$ -- компактный, то $AB(S)$ -- предкомпакт в $Z$. С другой стороны, $AB(S)=A(B(S))$. $B$ -- непрерывный оператор, поэтому $B(S)=T$ -- ограниченное множество, и $A(T)$ -- предкомпакт, где $T$ -- ограниченное. Таким образом, $A$ -- компактный оператор

[Oleg Zubelevich]

$T$ это не любое ограниченное множество

[cool.phenon]

Да, теперь вижу, спасибо, Oleg Zubelevich