Наверное, тут многие из вас слышали о такой вещи, как Lights Out. Если кто-то не слышал, то
тут можно посмотреть простейшую реализацию 5x5.
Здесь и
здесь можно почитать про решение.
Так вот, хотелось бы расмотреть непрерывную версию.
Пусть задано множество

вместе с подмножеством

. Назовём
игровым полем, а

-
характеристикой игры.Теперь возьмём множество

вместе с точкой

. Пару

будем называть
характеристикой хода.Ходом в точку

будем называть следующую операцию получения из

множества

:

где

- множество, получаемое из

смещением всех точек

на вектор

, а

- симметрическая разность.
Теперь обозначим множество

как

, множество

- как

, а точку

- как

. Теперь возьмём точку

и получим новое множество

(мы совершили ещё один ход в точку

). Аналогично мы можем получить множество

из точки

и множества

Отсюда возникает вопрос - существует ли для данных

конечная последовательность ходов в точки

, такая, что в результате получится множество

? Назовём эту последовательность
решением.Если не существует конечной последовательности, то существует ли счётная?
Если не существует ни конечной, ни счётной последовательности, возможно ли найти хотя бы такую, что в итоге получится множество

? Здесь

- мера Лебега. В данном случае искомую последовательность назовём
почти-решением.Вот
здесь я смоделировал эту проблему. В данном случае

представляет собой квадрат,

- вписанный в

круг,

- круг с радиусом примерно в 8 раз меньше радиуса

, а

- точный центр

. Существует ли решение в данном конкретном случае? Или хотя бы почти-решение?