закон сохранения момента импульса и шарик на верёвочке

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

Википедия:

Цитата:

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки для замкнутой системы остается постоянной со временем.

Пусть у меня вращается на верёвочке вращается маленький шарик (самым примитивным образом, как на картинке)

Найду его момент импульса L. Относительно точки А этот вектор направлен вниз, очевидно.

А вот относительно точки подвеса (В) он будет направлен под углом к оси вращения.

Очевидно, что проекция этого вектора на ось вращения будет постоянной.
А вот его проекция на плоскость вращения будет менять своё направление!

Вопрос: а как же закон сохранения углового момента? где постоянство вектора во времени?

• Или я не умею перемножать вектора,
• или система не замкнутая (а что в неё надо ещё включить, чтобы стала замкнутой и ЗСМИ выполнялся?)
• или в вики написано неправильно.

Помогите, пожалуйста, разобраться!

Upd: Уберём силу тяжести, ради пущей замкнутости с-мы Тогда вращение происходит не совсем как на рисунке, но вопрос тот же: почему, если мы берём точку вне плоскости вращения и считаем м.и. относительно неё, то он меняется?

[Munin]

Для каждого закона сохранения - свой критерий замкнутости.

Какие силы действуют на систему? Каковы моменты этих сил? Все ли они уравновешены? Рассмотрите для точек $A$ и $B.$

[Viktor92]

Я думаю в точке B момент импульса берется для мгновенной оси вращения, а эта ось уже поворачивается в пространстве, момент импульса для всех этих мгновенных осей, которые описывают конус - постоянен.

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

Munin, если уберём силу тяжести - то на шарик и на точку крепления действует только сила натяжения нити. Уравновешена силой реакции опоры (гвоздя). С моментами получается почти так же: в одном случае момент равен нулю, во втором - не равен нулю и меняется во времени.

Viktor92, в Википедии было и про оси тоже, и с этим всё понятно. Не понятно, что делать с вектором, который получается по определению $\mathbf{L} = [ \mathbf{r} {\times} \mathbf{p} ]$... И да, там, кажется, действительно не сказано, относительно чего он должен быть постоянен.

[Munin]

M-O-/\-4-Y-N-b-9l в сообщении #906494 писал(а):

Munin, если уберём силу тяжести - то на шарик и на точку крепления действует только сила натяжения нити.

Тогда как будет двигаться шарик? Разберитесь, а то такое впечатление, что вы думаете, что можно убрать силу, а движение не поменяется.

[Viktor92]

Зачем "убирать" силу тяжести, она и является причиной возникновения силы натяжения нити. Я кажется сообразил в чём тут дело, в точку А направлена центростремительная сила (которая есть равнодействующая силы тяжести и натяжения нити), поэтому момент этой силы относительно точки А равен нулю, а момент силы относительно точки В есть соответствующее векторное произведение.
И тут скорее надо применять теорему вращательного движения тела: изменение момента импульса во времени (производная по времени) замкнутой системы материальных точек равна суммарному моменту внешних сил приложенных к системе, а если момент внешних сил равен нулю (как в точке А), то следовательно момент импульса есть константа.

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

Поменяется, конечно.

M-O-/\-4-Y-N-b-9l в сообщении #906474 писал(а):

Тогда вращение происходит не совсем как на рисунке

. Шарик будет, опять же, двигаться по окружности, но теперь ниточка будет в плоскости вращения, это даже проще.

Поэтому если мы будем искать момент силы относительно точки крепежа, он будет нулевым (радиус-вектор из точки "подвеса" к телу и вектор силы направлены вдоль одной прямой, так что их векторное произведение равно нулю).

[arseniiv]

M-O-/\-4-Y-N-b-9l в сообщении #906494 писал(а):

и на точку крепления действует только сила натяжения нити

Странно, однако же, точка крепления почему-то под её действием остаётся на месте.

-- Чт сен 11, 2014 03:03:01 --

Viktor92 в сообщении #906499 писал(а):

Зачем "убирать" силу тяжести, она и является причиной возникновения силы натяжения нити.

Не обязательно.

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

Viktor92, спасибо! Стало яснее А именно, что

Viktor92 в сообщении #906499 писал(а):

изменение момента импульса во времени (производная по времени) замкнутой системы материальных точек равна суммарному моменту внешних сил приложенных к системе

.
Здесь всё сходится... Мне нравится слово "внешних сил".

Но как же быть с

M-O-/\-4-Y-N-b-9l в сообщении #906474 писал(а):

векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки для замкнутой системы остается постоянной

?

-- 11.09.2014, 01:16 --

arseniiv в сообщении #906504 писал(а):

Странно, однако же, точка крепления почему-то под её действием остаётся на месте.

Arseniiv, это мысль!

Но а если у меня бесконечно тяжёлый точечный гвоздь, его импульс ведь фактически будет равен нулю, а значит момент импульса тоже?.. Или где-то вру?

[arseniiv]

Так то и плохо ведь.

И ещё раз рассмотрите все силы и сделайте вывод о замкнутости системы. Если у вас производная момента импульса не ноль, естественно сразу начать копать её — и увидеть, что…

[DimaM]

M-O-/\-4-Y-N-b-9l в сообщении #906503 писал(а):

Поэтому если мы будем искать момент силы относительно точки крепежа, он будет нулевым (радиус-вектор из точки "подвеса" к телу и вектор силы направлены вдоль одной прямой, так что их векторное произведение равно нулю).

А если будем искать момент силы относительно точки, лежащей вне плоскости, он будет ненулевым. Поэтому момент импульса относительно той точки будет меняться.

[Munin]

M-O-/\-4-Y-N-b-9l в сообщении #906510 писал(а):

Но а если у меня бесконечно тяжёлый точечный гвоздь, его импульс ведь фактически будет равен нулю, а значит момент импульса тоже?.. Или где-то вру?

С бесконечно тяжёлым гвоздём надо осторожнее. Его импульс фактически не будет равен нулю: просто его масса бесконечна, и при любом конечном импульсе скорость будет нулевая, и вы её не заметите. Дальше, положение гвоздя тоже может сместиться из начальной точки на бесконечно малую величину. Будет ли момент импульса ненулевым? А может быть, импульс у него не конечный, а тоже бесконечный, просто меньшего порядка, чем масса?

Чтобы аккуратно во всём этом разобраться, надо запретить себе говорить "бесконечность", и вместо этого говорить "бесконечно большая в пределе величина". Тогда надо записать этот самый предел, аккуратно, и рассматривать конкретные величины и их соотношения, перед тем, как брать предел. После того, как всё будет оговорено и рассчитано, можно взять предел наконец. И тогда получится ответ. Но от того, как вы положите конкретные величины до взятия предела, будет зависеть и то, каким ответ получится.

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

Ой, а Munin мне уже ответил :)
Да, я всё поняла! Спасибо!

______________________
Всем большое спасибо!