Симметричное транзитивное бинарное отношение

[Mikhail Sokolov]

Подскажите, пожалуйста, существует ли специальный термин для бинарного отношения, которое симметрично и транзитивно (но не обязательно рефлексивно)?

Спасибо.

[Macavity]

Mikhail Sokolov писал(а):

Подскажите, пожалуйста, существует ли специальный термин для бинарного отношения, которое симметрично и транзитивно (но не обязательно рефлексивно)?

Спасибо.

Ну, например, полный неориентированный граф (в него, обычно, не включают петли из вершины в саму себя).
http://mathworld.wolfram.com/CompleteGraph.html

[Руст]

Мне кажется бессмысленно для этого случая давать имя. Всегда можно добавить диагональ и сделать отношение отношением эквивалентности.

[luitzen]

Mikhail Sokolov писал(а):

Подскажите, пожалуйста, существует ли специальный термин для бинарного отношения, которое симметрично и транзитивно (но не обязательно рефлексивно)?
Спасибо.

Мне всегда казалось, что из симметричности и транзитивности следует рефлексивность…

[Mikhail Sokolov]

Macavity, Руст
Спасибо. А что значит "добавить диагональ" (ведь формально это будет уже другое отношение)?

luitzen
По-моему, это справедливо только если для каждого элемента отношения найдется элемент, с которым он находится в отношении.

[Руст]

Добавить, значит считать что a эквивалентно a. Без добавления такое отношение является отношением эквивалентности в некотором подмножестве (не исключено в пустом для пустого отношения).

[Macavity]

Не всё так просто...

luitzen писал(а):

Мне всегда казалось, что из симметричности и транзитивности следует рефлексивность…

Многое зависит от того, что считать транзитивностью.

Например в Википедии:

Цитата:

В математике бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества a,b,c выполнение отношений aRb и bRc влечёт выполнение отношения aRc.

Тут заявлено три элемента.


Л.Л.Эсакиа. "СЛАБАЯ ТРАНЗИТИВНОСТЬ – РЕСТИТУЦИЯ ":

Цитата:

Вспомним, что почти полстолетия тому назад понятие транзитивности было предметом любопытной дискуcсии в среде логиков (с участием Артура Прайора), материалы которой нашли отражение в печати и прореферированы Алонзо Черчем (см.[1]); приведу цитату из заключительной части этого реферата: “This is continuation of the discussion initiated in the XXIV 185(1,2). In spite of disagreements on this way, the polemic ends with all parties agreeing that notion of weak-transitivity of a relation R, characterized by {x \neq z} \wedge {xRy} \wedge {yRz} \Rightarrow xRz must be distinguished from that of strong-transitivity, characterized by xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz”. Мне кажется, что понятие слабой транзитивности точнее отражает значение слов “транзитивность” и “транзит” нашего обыднного языка; скажем, перелет из пункта х в пункт y и обратно (т.е. случай, когда x=z!) мы, пожалуй, не назвали бы транзитным. Так или иначе, достигнутый консенсус позволяет нам, наряду с “обычной” транзитивностью, пользоваться и слабой транзитивностью...

Мне казалось, различные типы отношений должны быть равноправны, равнее. Но, вероятно, все типы отношений равны, но есть равнее...

Что тогда можно сказать о следующем примере -
В комнате n мужчин, рассматривается отношение "быть братом".
Понятно, симметрично, понятно антирефлексивно, а транзитивно или нет. С точки зрения указанной выше "сильной транзитивности" - не транзитивно, а "слабой" - транзитивно...

Есть деление на классы - конечно. Добавлением транзитивности (или переходом от антирефлексивности к рефлексивности!), получаем расширение в стандартные классы эквивалентности (симметричность - рефлексивность - транзитивность). Остаётся небольшая деталь - решить вопрос, как человек может быть самому себе братом...

[luitzen]

Macavity писал(а):

Л.Л.Эсакиа. "СЛАБАЯ ТРАНЗИТИВНОСТЬ – РЕСТИТУЦИЯ ":

Восьмой выпуск «Логических исследований» есть даже у меня

Macavity писал(а):

рассматривается отношение "быть братом"

Еще вариация на тему того, что в обыденной жизни транзитивность понимается «слабо»:
Рассмотрим отношение «быть родственником». Оно вроде бы симметрично, и будем считать его транзитивным. Отсюда должно следовать, что оно рефлексивно. Но попробуйте сходить в отдел ЗАГС и взять справку о том, что являетесь родственником самому себе. Вряд ли вам такую выпишут. Мне, по крайней мере, не выписали

[Macavity]

luitzen писал(а):

Macavity писал(а):

рассматривается отношение "быть братом"

Еще вариация на тему того, что в обыденной жизни транзитивность понимается «слабо»:
Рассмотрим отношение «быть родственником». Оно вроде бы симметрично, и будем считать его транзитивным. Отсюда должно следовать, что оно рефлексивно. Но попробуйте сходить в отдел ЗАГС и взять справку о том, что являетесь родственником самому себе. Вряд ли вам такую выпишут. Мне, по крайней мере, не выписали

Это был научный эксперимент ?

[bot]

Если отношение, которое хочу построить, должно быть антирефлексивным, то я бы как и Руст не заморачивался слабой транзитивностью, замкнул бы по транзитивности, то есть получил бы отношение эквивалентности, а потом выбросил бы диагональ.
Отношение "человек человеку брат", о котором говорили выше или "человек человеку друг" вполне укладывается в эту схему. Впрочем в последнем я бы не стал удалять диагональ.
Слабая транзитивность может быть востребована в отношениях, в которых некоторые диагональные элементы принадлежат отношению, а некоторые нет. Порылся в памяти - не встречался с такими.