Количество матриц ранга k

[bahad]

Пусть $F$ - конечное поле из $p$ элементов. Правильная ли получилась формула количества $n \times n$ матриц ранга $k$ над полем $F$ ?
$p^{k(n-k)}((p^n-1)(p^n-p) \dots (p^n-p^{k-1}))$

[nnosipov]

Нет. Например, при $k=1$ получается не то, что должно быть.

[bahad]

nnosipov в сообщении #904938 писал(а):

Нет. Например, при $k=1$ получается не то, что должно быть.

А что должно быть при $k=1$, разве не $p^{n-1}(p^n-1)$ ?

[nnosipov]

Должно быть $(p^n-1)^2$. Проверьте при $n=p=2$.

[patzer2097]

nnosipov в сообщении #904955 писал(а):

Должно быть $(p^n-1)^2$.

вроде бы, $\frac{(p^n-1)^2}{p-1}$ на самом деле

[nnosipov]

Да, согласен, надо поделить на $p-1$. Почему-то показалось, что все произведения $uv$ ($u$ --- столбец, а $v$ --- строка) будут разные.

[patzer2097]

В общем случае можно дать почти такое же решение: матрицы ранга $k$ -- это матрицы, представимые в виде произведения матриц $A$ и $B$ размеров $n\times k$ и $k\times n$ полного ранга. Причем если $A$ и $B$ пробегают все матрицы полного ранга, то каждая из матриц ранга $k$ встретится среди произведений ровно столько раз, сколько базисов в $\mathbb{R}^k$.

[nnosipov]

Да, о чём-то таком сразу подумалось (всплыл в памяти номер 627 из задачника Проскурякова, где матрица ранга $k$ представлялась как сумма $k$ матриц ранга 1). Но да, здесь удобнее говорить о произведении.

[bahad]

patzer2097 в сообщении #905026 писал(а):

В общем случае можно дать почти такое же решение: матрицы ранга $k$ -- это матрицы, представимые в виде произведения матриц $A$ и $B$ размеров $n\times k$ и $k\times n$ полного ранга. Причем если $A$ и $B$ пробегают все матрицы полного ранга, то каждая из матриц ранга $k$ встретится среди произведений ровно столько раз, сколько базисов в $\mathbb{R}^k$.

Сомнительное утверждение, получается $((p^n-1) \dots (p^n-p^{k-1}))^2/((p^n-1) \dots (p^n-p^{k-1}))=((p^n-1) \dots (p^n-p^{k-1}))$, если я не ошибаюсь

[nnosipov]

bahad, Вы поделили на число базисов в каком пространстве? Надо в $F^k$.

[bahad]

nnosipov в сообщении #905595 писал(а):

bahad, Вы поделили на число базисов в каком пространстве? Надо в $F^k$.

В знаменателе, наверное, должно быть вот это $(p^k-1)(p^k-p) \dots (p^k-p^{k-1})$

[nnosipov]

bahad в сообщении #905624 писал(а):

В знаменателе, наверное, должно быть вот это $(p^k-1)(p^k-p) \dots (p^k-p^{k-1})$

Да.