Совершенное число

[Ktina]

При каких натуральных $n$ число $n!+4$ является совершенным?

[nnosipov]

Ну, оно вроде как чётное, а как устроены чётные совершенные числа, хорошо известно, так что ...

[Ktina]

nnosipov в сообщении #904924 писал(а):

Ну, оно вроде как чётное, а как устроены чётные совершенные числа, хорошо известно, так что ...

Что оканчиваются они только на 6 или на 8?

[nnosipov]

Это так, да, но я имел в виду само утверждение о том, что они имеют вид $2^{p-1}(2^p-1)$, где $2^p-1$ --- простое число.

[scwec]

Может только при $n=2,4$, поскольку начиная с $n=7$ $8n!+33$ не может быть квадратом (по модулю 7).

[nnosipov]

А почему это число должно быть квадратом?

[scwec]

Потому что четное совершенное число есть число треугольное. Решая квадратное уравнение, под корнем получаем $8n!+33$.

[nnosipov]

scwec в сообщении #905016 писал(а):

Потому что четное совершенное число есть число треугольное

Это да и, как кажется, доказывается тоже только на основе той формулы.

[scwec]

Конечно, тут все равно на что общеизвестное о четных совершенных числах опираться. На явное выражение Эйлера ли, на то,что они треугольные ли, или на то, что они шестиугольные. Всё эквивалентно при данном доказательстве.

[maxal]

scwec в сообщении #905100 писал(а):

Конечно, тут все равно на что общеизвестное о четных совершенных числах опираться. На явное выражение Эйлера ли, на то,что они треугольные ли, или на то, что они шестиугольные. Всё эквивалентно при данном доказательстве.

Не скажите. Например, можно использовать тот факт, что при $n\geq 4$, имеем $n!+4\equiv 4\pmod{8}$, то есть возможно только $p=3$. Ну а меньшие $n$ легко перебираются.
Это рассуждение базируется на идее, отличной от вашей.

[scwec]

scwec в сообщении #905100 писал(а):

эквивалентно при данном доказательстве

т.е. при использовании квадратного уравнения.
А Ваше доказательство, как всегда, безупречно.