Разностная схема для гиперболического уравнения

[Alex345]

Есть гиперболическое уравнение вида $u_{tt}-u_{xx}+u_t=f(x,t)$
Нужно его решить численно, не приводя к канонической форме.
Разностная схема для него имеет вид ($\Delta$ для $x$ и $t$ одинакова):
$ \frac{u(x,t+\Delta)-2u(x,t)+u(x,t-\Delta)}{\Delta^2} -\frac{u(x+\Delta,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta,t)}{\Delta^2} +\frac{u(x,t+\Delta)-u(x,t-\Delta)}{2\Delta}=f(x,t) $
Центральная точка при вторых производных сокращается, и имеем:
$ \frac{u(x,t+\Delta)+u(x,t-\Delta)}{\Delta^2} -\frac{u(x+\Delta,t)+u(x-\Delta,t)}{\Delta^2} +\frac{u(x,t+\Delta)-u(x,t-\Delta)}{2\Delta}=f(x,t) $
Из-за этого сокращения то, что раньше имело порядок малости второго дифференциала увеличило порядок малости до дифференциала первого порядка, при этом в знаменателе так осталось $\Delta^2$.
Возникает странная ситуация, когда имеем сумму двух членов разной малости.
Как разрешить эту проблему?

[Slow]

Можете расписать как это у вас там порядок понизился?

[cool.phenon]

Подозрений еще мало, нужно проверить схему на работоспособность.

[Red_Herring]

Alex345 в сообщении #904401 писал(а):

Возникает странная ситуация, когда имеем сумму двух членов разной малости.
Как разрешить эту проблему?

Не сокращать

Цитата:

Центральная точка при вторых производных сокращается

причем это случается только тогда, когда шаги по обеим переменным одинаковые.

[Alex345]

Цитата:

Не сокращать

Ну это трюк по обхождению проблемы, зарывание головы в песок, приводящий, к тому же, к увеличению времени расчёта.
Я хочу понять суть явления, свойственного, по всей видимости, именно гиперболическому уравнению.
И как можно (можно ли?) извлечь из него выгоду?
Это есть прямой результат его гиперболичности, которое приводит к вычитанию вторых производных, и, как следствие, к сокращению центральной точки и понижению порядка дифференциала.

-- 06.09.2014, 13:57 --

Slow в сообщении #904427 писал(а):

Можете расписать как это у вас там порядок понизился?

Вроде бы всё расписал: $2u(x,t)$ в верхней формуле сокращаются, получаем в результате нижнюю, где уже нет разностей, соответсвующих вторым производным.

-- 06.09.2014, 14:04 --

cool.phenon в сообщении #904459 писал(а):

Подозрений еще мало, нужно проверить схему на работоспособность.

Ну я не знаю, как можно складывать $O(\frac{1}{\Delta^2})$ и $O(1)$ и ожидать, что это сработает? Тут нечему работать...

[ИСН]

Явления нет, поэтому и извлекать нечего. С тем же успехом Вы могли бы одну дробь, выражающую вторую производную, разбить на сумму/разность отдельных дробей - и с удивлением обнаружить члены порядка $O(\frac{1}{\Delta^2})$, с которыми непонятно что делать. Да ничего не делать. Сухари сушить.

[Munin]

Alex345 в сообщении #904518 писал(а):

Это есть прямой результат его гиперболичности, которое приводит к вычитанию вторых производных, и, как следствие, к сокращению центральной точки и понижению порядка дифференциала.

Даже если центральная точка "сокращается", порядок дифференциала не понижается. Дифференциал у вас имеет место по двум переменным, $u(x,t+\Delta)+u(x,t-\Delta)-u(x+\Delta,t)-u(x-\Delta,t)$ и его порядок второй. Чтобы убедиться в этом, подставьте в качестве $u$ линейную функцию (сиречь полином первого порядка), и убедитесь, как всё весело сокращается.

[cool.phenon]

Alex345
Лично я сужу, работает схема или нет, по двум факторам (для начала) : устойчивость и согласованность. Если схема устойчива и согласована, то даже если что-то и сократится, на результат это не повлияет никак.

-- 06.09.2014, 16:31 --

И кстати, вспомнил: в схеме могут складываться разные порядки малости. Например, старшие производные обозначаем центральной разностностью, а младшие производные имеют особенность в коэффициентах. Тогда для обеспечения согласованности порядок малости у младших производных будет выше, чем у старших производных, но в сумме обеспечивается точность немного выше порядка старших производных

[Red_Herring]

Alex345 в сообщении #904518 писал(а):

Ну это трюк по обхождению проблемы, зарывание головы в песок, приводящий, к тому же, к увеличению времени расчёта.

Это Вы создаёте проблему, высасывая её из пальца.

[Alex345]

Red_Herring в сообщении #904595 писал(а):

Alex345 в сообщении #904518 писал(а):

Ну это трюк по обхождению проблемы, зарывание головы в песок, приводящий, к тому же, к увеличению времени расчёта.

Это Вы создаёте проблему, высасывая её из пальца.

Это неприемлемый комментарий для рубрики "Помогите решить / разобраться".

[Red_Herring]

Alex345 в сообщении #904636 писал(а):

Это неприемлемый комментарий для рубрики "Помогите решить / разобраться"

Вам уже объяснили, что проблемы просто нет, потому что либо не надо сокращать (и сокращение работает только при равном шаге), либо надо рассматривать $u(x+h,t)+u(x-h,t) -u(x,t+h)-u(x,t-h)$ как единое выражение. Нет никакой проблемы кроме Вашего нежелания. К тому же хамите:

Alex345 в сообщении #904636 писал(а):

Ну это трюк по обхождению проблемы, зарывание головы в песок, приводящий,

[Alex345]

Munin в сообщении #904584 писал(а):

Alex345 в сообщении #904518 писал(а):

Это есть прямой результат его гиперболичности, которое приводит к вычитанию вторых производных, и, как следствие, к сокращению центральной точки и понижению порядка дифференциала.

Даже если центральная точка "сокращается", порядок дифференциала не понижается. Дифференциал у вас имеет место по двум переменным, $u(x,t+\Delta)+u(x,t-\Delta)-u(x+\Delta,t)-u(x-\Delta,t)$ и его порядок второй. Чтобы убедиться в этом, подставьте в качестве $u$ линейную функцию (сиречь полином первого порядка), и убедитесь, как всё весело сокращается.

Не сокращается.
$u(x)=\alpha x+\beta t$
$u(x,t+\Delta)+u(x,t-\Delta)-u(x+\Delta,t)-u(x-\Delta,t)=2\Delta (\beta - \alpha ) $
Итого, имеем
$\frac{\beta - \alpha}{\Delta }+\beta = f(x,t) $
Первый член, как и ожидалось, улетает в бесконечность.

[ИСН]

Alex345 в сообщении #904646 писал(а):

$u(x)=\alpha x+\beta t$
$u(x,t+\Delta)+u(x,t-\Delta)-u(x+\Delta,t)-u(x-\Delta,t)=2\Delta (\beta - \alpha ) $

Корень зла - здесь.

-- менее минуты назад --

Проделайте эти выкладки ещё раз.

[Alex345]

ИСН в сообщении #904650 писал(а):

Alex345 в сообщении #904646 писал(а):

$u(x)=\alpha x+\beta t$
$u(x,t+\Delta)+u(x,t-\Delta)-u(x+\Delta,t)-u(x-\Delta,t)=2\Delta (\beta - \alpha ) $

Корень зла - здесь.

-- менее минуты назад --

Проделайте эти выкладки ещё раз.

О чём Вы?

[ИСН]

Проделайте ещё раз, пожалуйста, те выкладки, с помощью которых Вы перешли от первой из этих строчек ко второй из них. Да.