2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 [ТВ] Распределение
Сообщение02.09.2014, 18:04 
Пусть $X\sim F$, $Y\sim G$ независимые. Нужно показать, что $$\mathbb E \left[\mathbf 1 (\min (X,Y) < x, \mathbf 1(X<Y) = 1 )\right] = \int (1-G)dF$$Считаю:$$\mathbb E \left[\mathbf 1 (\min (X,Y) < x, \mathbf 1(X<Y) = 1 )\right] = \mathbb P(\min (X,Y) < x, \mathbf 1(X<Y) = 1)$$$$=\mathbb P(\min (X,Y) < x \mid \mathbf 1(X<Y)=1)\mathbb P(\mathbf 1(X<Y)=1)$$$$ = \mathbb P (X < x)\mathbb P(X<Y) = F\int (1-G)dF$$Где я ошибся?

(Оффтоп)

Задача из этих лекций, стр. 27.

 
 
 
 Re: [ТВ] Распределение
Сообщение03.09.2014, 05:05 
Аватара пользователя
Понятно, где, - там, где заменили условную вероятность на безусловную. События-то зависимые!

Да и зачем такие навороты? Матожидание индикатора - вероятность:
$$\mathsf P(\min(X,Y)<x,\, X<Y) = \mathsf P(X<x,\, Y>X) = \int\limits_0^x \mathsf P(Y>u)\,dP(X<u) = \int\limits_0^x (1-G(u))\,dF(u).$$

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group