[ТВ] Распределение

[vlad_light]

Пусть $X\sim F$, $Y\sim G$ независимые. Нужно показать, что

$$\mathbb E \left[\mathbf 1 (\min (X,Y) < x, \mathbf 1(X<Y) = 1 )\right] = \int (1-G)dF$$

Считаю:

$$\mathbb E \left[\mathbf 1 (\min (X,Y) < x, \mathbf 1(X<Y) = 1 )\right] = \mathbb P(\min (X,Y) < x, \mathbf 1(X<Y) = 1)$$

$$=\mathbb P(\min (X,Y) < x \mid \mathbf 1(X<Y)=1)\mathbb P(\mathbf 1(X<Y)=1)$$

$$ = \mathbb P (X < x)\mathbb P(X<Y) = F\int (1-G)dF$$

Где я ошибся?

(Оффтоп)

Задача из этих лекций, стр. 27.

[--mS--]

Понятно, где, - там, где заменили условную вероятность на безусловную. События-то зависимые!

Да и зачем такие навороты? Матожидание индикатора - вероятность:

$$\mathsf P(\min(X,Y)<x,\, X<Y) = \mathsf P(X<x,\, Y>X) = \int\limits_0^x \mathsf P(Y>u)\,dP(X<u) = \int\limits_0^x (1-G(u))\,dF(u).$$