Общий базис для чисел и функций.

[timots]

Возьмем за базисные векторы $ \sqrt[n]1$ . Эти векторы принадлежат комплексной системе координат. В комплексной плоскости имеется два независимых вектора, а остальные векторы будут линейно зависимы. Но можно основываясь на линейно зависимых векторах построить линейно независимый базис. В качестве базиса возьмем дифференциальное уравнение $ y^{(n)}=y$ . Выразим векторы через полученные функции.
$ 1=\xi_1=y, \xi_2=y’, \cdots, \xi_n=y^{(n-1)} $ . При $ x=\operatorname{const}=0$ мы получим систему из $ n$ уравнений с $ n$ неизвестными. Выразим коэффициенты через вектора.
$ C_1=C_3=\cdots=C_n$
$ C_2=1$
Мы можем выразить через этот базис произвольные $ n$ величин.
$ \alpha_1=y,\alpha_2=y’, \cdots, \alpha_n=y^{(n-1)} $
Это могут быть корни уравнения, коэффициенты уравнения или сами уравнения. Тогда мы можем свернуть дифференциальное уравнение. И выразить корень уравнение через отношение функции к ее производной.
$y’’=y$, $x_n=\frac{f(x)}{f’(x)}$
Или метод Ньютона можно вывести из данного базиса.
При $ n\rightarrow \infty$ мы получим ряд Тейлора.
Так как дифференциальное уравнение $y^{(n)}=y$, дает систему с помощью, которой можно выразить $ n$ произвольных величин, то данное уравнение является базисом для системы из $ n$ уравнений, для линейных дифференциальных уравнений и для системы этих уравнений.
Уравнение $y^{(n)}=y$, при четном $ n$ $ n=2k$ разлагается на два дифференциальных уравнения $ y^{(k)}=1$ и $ y^{(k)}=-1$ произвольные величины (числа, функции) можно связать как с коэффициентами одной, так и другой функции. С помощью функции полученной из второго уравнения можно разложить функции в ряд Фурье. Покажем это на уравнении $ y^{(k)}=-1$:
$y=C_1\cos x+C_2\sin x $
$ C_1=a \sin\varphi, C_2=a\cos\varphi$ ,
$ C_1\cos x +C_2\sin x=a\sin(x+\varphi) $
Если дано базис из n независимых векторов, то коэффициенты их можно выразить через полученные функции:
$a_1i+a_2j+a_3k=f(x)i+f’(x)j+f’’(x)k$
Доказательство этого обобщения элементарно. Оно основано на том, что частные решения дифференциального уравнения линейно независимы. Но я нигде не встречал подобного обобщения. Может скажете мне почему?

[Xaositect]

Цитата:

Эти векторы принадлежат комплексной системе координат.

Что такое "комплексная система координат" в этом предложении?

timots в сообщении #901516 писал(а):

$ 1=\xi_1=y, \xi_2=y’, \cdots, \xi_n=y^{(n-1)} $ . При $ x=\operatorname{const}=0$ мы получим систему из $ n$ уравнений с $ n$ неизвестными.

При $x=\mathrm{const}$ из уравнения $y^{(n)} = y$ никаких соотношений между $y, y', \dots, y^{(n-1)}$ не следует, при фиксированном $x$ эти производные могут быть произвольными.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не удовлетворяет требованиям дискуссионного раздела

timots, приведите Ваш текст в соответствие с требованиями дискуссионного раздела.

правила форума писал(а):

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. ... Тема, формулировка которой признается нечеткой или неоднозначной, может быть отправлена в карантин до исправления. Незнание автором темы критериев, отличающих научно строгие формулировки от нестрогих, не является основанием для исключительного отношения к теме.

timots в сообщении #901516 писал(а):

комплексной системе координат

определите термин, либо сформулируйте без него.

timots в сообщении #901516 писал(а):

Возьмем за базисные векторы $ \sqrt[n]1$ .

базис над каким полем?

timots в сообщении #901516 писал(а):

В качестве базиса возьмем дифференциальное уравнение $ y^{(n)}=y$ .

базис - это множество векторов, диффур множеством не является.

timots в сообщении #901516 писал(а):

$ y^{(n)}=y$ ....
$ 1=\xi_1=y, ...$ .

$y=1$ и $y^{(n)}=y \Rightarrow 1=0$.

timots в сообщении #901516 писал(а):

метод Ньютона можно вывести из данного базиса.

метод вывести из базиса? что это вообще значит?

и так далее

Выделите явно те утверждения, которые Вы хотите доказать.

timots в сообщении #901516 писал(а):

Доказательство этого обобщения элементарно. Оно основано на том, что частные решения дифференциального уравнения линейно независимы. Но я нигде не встречал подобного обобщения. Может скажете мне почему?

Тема создана исключительно ради этого вопроса? В общем случае, почему в литературе чего-то нет, это нематематический вопрос.

См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.