Несколько задач по мат.анализу

[Kirill_Sal]

Доброго времени суток.
Пропустил весь май обучения на втором курсе и возникли сложности в решении трех задач для экзамена.
Задача N1. Вычислить

$$\int_{0}^{\infty} \cos(x^2) dx$$

с помощью преобразования Фурье.
Я записал этот интеграл как $\sqrt{2\pi}\widehat\cos(x^2) (0)$ (преобразование Фурье при частоте, равной нулю). Затем записал косинус в комплексном виде, получил два интеграла от комплексных экспонент и вычислил их методами ТФКП. Все вроде бы хорошо, но это вряд ли то, что от меня требовалось. Посчитать интеграл от $\cos(x^2)$ методами ТФКП можно было и без всякого преобразования Фурье. Какой более простой способ подразумевается в задаче?

Задача N2. Вычислить комплексный ряд Фурье функции $f(x)=(\cos 2x +3)/(3-\cos x)$.
Записываю косинусы через комплексные экспоненты, делаю замену переменных $t=\exp(ix)$ и прихожу к вычислению интеграла:

$$(1/i)\oint \((6t^2+t^4+1)/t(6t-t^2-1)t^{n}) dt$$

, на первый взгляд являющегся с точностью до постоянного множителя интегралом Коши для (n-1)-й производной в нуле от функции $g(t)=(6t^2+t^4+1)/(6t-t^2-1)t$. Однако, знаменатель имеет другие корни внутри круга $|t|<1$, значит 0 - не единственная точка особенности. Как учесть эти корни при вычислении интеграла? Могу посчитать методом вычетов, но мы их еще не проходили.

Задача N3. Доказать равенство $Arcsinz = -iLn(i(z+\sqrt{z^2-1}))$, где для корней берутся все их значения. Доказывается очень просто, но не понятно, что имеется ввиду под всеми значениями корня? Надо находить область однолистности?

[SpBTimes]

1. Вероятно надо найти такую функцию, у которой легко можно найти преобразование Фурье. А вот идя назад, считая обратное преобразование Фурье, вы придете к этому интегралу. НО считать его не надо будет - достаточно воспользоваться теоремой о поточечной сходимости.

2. Что за страх такой? И откуда контурные интегралы?

3. Да, нужно доказать, что какую бы ветвь не взять, это равенство верно.

[Kirill_Sal]

1. Да нет, по идее надо именно найти преобразование Фурье от $\cos(x^2)$ в нуле. Проблема в том, что вычисляя это преобразование мы все равно приходим к вычислению интегралов от $\exp(ix^2)$, $\exp(-ix^2)$. Спрашивается, зачем тогда вычислять интеграл с помощью преобразования Фурье? Чисто методически даже не понятно.

2. Это контурный интеграл в комплексной плоскости: я перешел от вещественного переменного $x$ к комплексному $\exp(ix)$.

3. Начал считать, возникли трудности с нахождением области однолистности. Я считаю так: $\operatorname{Arcsin} z - \operatorname{Arcsin} t = \operatorname{Arcsin} (z\sqrt{1-t^2} - t\sqrt{1-z^2}) = 0$, z,t - два значения функции. Получается $z^2 = t^2$. Все ли правильно? Что это получается за область?

[Slow]

По 1 заданию возьмите функцию $e^{iz^2}$ и следующий контур: прямую $\operatorname{Im}z=0 \operatorname{Re}z>0$, прямую под углом $\pi/4$ и замкните их дугой окружности радиуса $R$

[Kirill_Sal]

Я так и делал. Ответ правильный. Сомневаюсь только потому, что преобразование Фурье в этом методе используется только для красоты.

-- 24.08.2014, 20:47 --

Минуту. Это часть круга? Я интегрировал вдоль луча.

[Slow]

Вот такой контур:

[Otta]

Kirill_Sal в сообщении #899220 писал(а):

Задача N2. Вычислить комплексный ряд Фурье функции $f(x)=(\cos 2x +3)/(3-\cos x)$.
Записываю косинусы через комплексные экспоненты, делаю замену переменных $t=\exp(ix)$ и прихожу к вычислению интеграла:

$$(1/i)\oint \((6t^2+t^4+1)/t(6t-t^2-1)t^{n}) dt$$

Не надо пытаться считать коэффициенты по базовой формуле. Возьмите исходную функцию, выразите косинус через экспоненты и разложите то, что получится в ряд по экспонентам. Можно замену сделать для наглядности. Задача сводится к разложению рациональной функции в ряд Лорана.

[Kirill_Sal]

Мы ряды Лорана не проходили. Надо решать с помощью простейших методов интегрирования ФКП. Поэтому я и использую формулу Коши.

[Otta]

Вас послушать, Вы и как считать интегралы не проходили толком, и ряды Лорана не проходили. Ну пройдите уже что-нибудь хотя бы одно. Криволинейные интегралы адддитивны, например. Разбивайте контур, достраивая до замкнутых, так, чтобы к каждому можно было применить формулу Коши. Но это редкостное извращение, честно говоря, в данном конкретном случае, решать такую задачу таким способом.

[ewert]

Kirill_Sal в сообщении #899220 писал(а):

не понятно, что имеется ввиду под всеми значениями корня?

Имеется в виду, что правая часть даёт общее решение (а ровно это и называется общим значением арксинуса) именно в том случае, когда как для логарифма, так и для корня берутся все возможные значения. Листность тут не при чём.

-- Пн авг 25, 2014 17:24:27 --

Otta в сообщении #899789 писал(а):

Разбивайте контур так, чтобы к каждому можно было применить формулу Коши.

ТС вроде бы ровно так и делал (только не применял формулу Коши к кускам контура -- это несколько бессмысленно). Он лишь сомневается, что преобразование Фурье здесь выгодно -- ведь его применение усложняет решение задачи не более чем в три раза.

[Otta]

ewert
Да, бессмысленно, и я так и не говорю. Но он не делал никак пока что. Вроде бы.

[ewert]

Kirill_Sal в сообщении #899450 писал(а):

Я интегрировал вдоль луча.

Судя по контексту, эти слова можно понять единственным образом -- он сводил к интегралу Пуассона, пользуясь интегральной теоремой Коши (не формулой, конечно, она тут вообще не при чём).

[Otta]

Я о второй задаче. Она мной на всякий случай была процитирована. post899681.html#p899681

[ewert]

Зазевался, прошу прощения. Тогда по существу:

Kirill_Sal в сообщении #899220 писал(а):

Однако, знаменатель имеет другие корни внутри круга $|t|<1$, значит 0 - не единственная точка особенности.

Во-первых, не корни, а корень (поскольку произведение корней равно единице). Во-вторых, ноль как раз не будет особой точкой при $n>1$ (Вы забыли про $t^n$ в числителе и заодно напутали со степенью в знаменателе), так что всё сводится просто к одной интегральной формуле Коши безо всяких производных. При $n=0,1$ придётся, видимо, считать этот интеграл в лоб без выхода в комплексную плоскость (раз уж без вычетов); но это и совсем нетрудно через тангенс половинного угла.

[Kirill_Sal]

Otta Делал. Я не заметил второго корня внутри круга |t|<1 и считал по ф-ле Коши для точки 0.
Я понял схему решения, спасибо за подсказку.

ewert
Почему в 0 нет особенности? Не совсем понимаю.