частные производные сложной функции

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

$ (\frac{\partial S}{\partial T})_{V} =(\frac{\partial S}{\partial T})_P (\frac{\partial T}{\partial T})_V - (\frac{\partial V}{\partial T})_P (\frac{\partial P}{\partial T})_V $
Вопросы вызывают переменные, которые зафиксированы при дифференцировании.
Киньте ссылку на Википедию, почему это так? Или тему, если где-то здесь это уже обсуждалось. Хочу доказательство, а доказать самостоятельно не могу.
И посоветуйте учебник :) чтоб мне больше не обращаться с такими вопросами :)

Задам ещё немного другой вопрос: у меня есть функция $ S=S (T,P)$. Я хочу найти её частную производную по Т при условии - при фиксированном значении $V=V(P,T)$. Что мне надо делать? И вообще, такая постановка задачи корректна?

Спасибо!

[ИСН]

Вы меняете Т при фиксированном значении $V=V(P,T)$. Что при этом происходит с P? Оно тоже как-то меняется; как?

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

Да, меняется. Но вот как - не знаю. Точный вид $V(P,T)$ мне не известен.

[Pphantom]

Что-то мне кажется, что это вопрос для физического раздела, уж больно обозначения специфические... Если это так, то это существенное дополнительное условие.

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

В том-то и дело, что физики скажут: "Слушай, да тут всё понятно! Взгляни на физический смысл вот этих вот ч.производных..." А я не хочу физический смысл! Это может быть доказано математически. Думаю даже, в учебниках есть про это отдельная глава (про верхнее выражение), только вот не знаю, в каких учебниках. Так что давайте мысленно заменим буквы S, T, V и P на z, y, x, t :)

[Shtorm]

M-O-/\-4-Y-N-b-9l, тогда наверное Вам стоит почитать главу "Производные сложных функций" в разделе "Частные производные функции двух переменных".
Если $z=F(x,y), $ где $x=f(u,v), y=\varphi(u,v)$ то:

$$\dfrac{\partial z}{\partial u}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u}$$

$$\dfrac{\partial z}{\partial v}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v}$$

[M-O-/\-4-Y-N-b-9l]

Читала. Не помогло. Там написано

$$(\dfrac{\partial z}{\partial u})_v=(\dfrac{\partial z}{\partial x})_y (\dfrac{\partial x}{\partial u})_v+(\dfrac{\partial z}{\partial y})_x (\dfrac{\partial y}{\partial u})_v$$

а мне надо доказать, получается, что

$$(\dfrac{\partial z}{\partial u})_{v(?)}=(\dfrac{\partial z}{\partial x})_y (\dfrac{\partial x}{\partial u})_v -(!) (\dfrac{\partial v}{\partial u})_y (\dfrac{\partial y}{\partial x})_v$$

.
Вопрос, как это доказать и есть ли в последнем слагаемом математический смысл.

[olenellus]

Как тут писал Pphantom, надо использовать существенное дополнительное условие. Им является первое начало термодинамики

$$dE = TdS - PdV$$

Без него можно получить только

$$\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P + \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$

Вообще, все эти соотношения очень легко выводить, используя формализм дифференциальных форм. Советую почитать маленькую книжку Б. Шутц "Геометрические методы математической физики".

[Pphantom]

M-O-/\-4-Y-N-b-9l в сообщении #898942 писал(а):

В том-то и дело, что физики скажут: "Слушай, да тут всё понятно! Взгляни на физический смысл вот этих вот ч.производных..." А я не хочу физический смысл!

Не хотите - не надо. Но тогда сформулируйте математическую задачу полностью. Без части условия получить результат будет затруднительно.

В качестве подсказки... Подумайте, зачем при дифференцировании вообще надо что-то фиксировать и почему, например, $\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}$ и $\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}$ отличаются.

P.S. Только, вообще говоря, проблема физическая. Дело не в сложности математического доказательства, а в том, что Вы забываете о необходимости формализации некоторого физического обстоятельства. Так что раздел форума, наверное, надо бы сменить.

[olenellus]

Pphantom в сообщении #898974 писал(а):

Подумайте, зачем при дифференцировании вообще надо что-то фиксировать и почему, например, $\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}$ и $\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}$ отличаются.

Это-то как раз чистая математика. С точки зрения математики здесь всего навсего идёт речь о двумерном многообразии с четырмя заданными на нём функциями $S,T,P,V$. Функции предполагаются находящимися в общем положении, так что любую их пару можно брать в качестве локальных координат. Вот и вся история. Но чтобы получить окончательное равенство с минусом, надо использовать допольнительное условие, налагаемое на эти функции физикой (первое начало).

[Pphantom]

olenellus в сообщении #898979 писал(а):

Это-то как раз чистая математика. С точки зрения математики здесь всего навсего идёт речь о двумерном многообразии

Не только. Вывод о двумерности тоже из математики не следует.