Размерность интеграла

[StaticZero]

Имеется уравнение

$\dfrac{u}{s} dt = \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + s^2}}$

Если я беру интеграл и выражаю через гиперболические функции, получаю несовпадение размерности:
$\dfrac{ut}{s} + C = \dfrac{1}{s}\operatorname{Arsh} \dfrac{x}{s}$
Слева безразмерная величина, справа размерность $\frac{1}{\text{м}}$

Если выражаю через логарифм, то слева и справа безразмерные величины:

$\dfrac{ut}{s} + C = \ln{(\sqrt{a^2 + x^2} + a)}$

Примечание:
$\dim u = \left[\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\right]$
$\dim s = \left[\text{м}\right]$

Где здесь собака зарыта?

[olenellus]

Собака в том, что надо учиться правильно вычислять интегралы.

[ИСН]

В первом варианте, естественно.

[StaticZero]

Пора перестать доверять своей памяти.

$\dfrac{ut}{s} + C = \operatorname{Arsh} \dfrac{x}{s}$
так получается?

[ИСН]

Производную возьмите - и увидите.
Вроде так, да.

[olenellus]

Вот, уже лучше. Но во втором случае тоже шероховатости (кстати, а что это за $a$?). Но даже если там будет всё правильно записано, останется интересный нюанс: под логарифмом будет размерная величина. Надо понимать, что это значит. Такое сплошь и рядом встречается в физхимии/статфизике. Дело в том, что константа $C$ в этом случае зависит от выбора единиц измерения.

[StaticZero]

olenellus в сообщении #898172 писал(а):

кстати, а что это за $a$?

$a = s$

olenellus в сообщении #898172 писал(а):

Надо понимать, что это значит

Это, наверное, ничего не значит, потому что интеграл неопределённый, так? При численном интегрировании размерностей не будет, ибо

$$\ln x - \ln y = \ln \dfrac{x}{y}$$