Различие в многочленах Лежандра

[ktoto]

Почему многочлены Лежандра полученные из ортогонализации $\{1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots\}$ процессом Грама-Шмидта отличаются от многочленов приведёных в литературе?
Многочлены совпадают с точностью до константы, может после Грама-Шмидта нужна еще какая-то нормировка?
Например многочлены полученные процессом Грама-Шмидта, следующие:
$\\ P_0(x)=1 \\ P_1(x)=x \\ P_2(x)=x^2-\frac{1}{3} \\ P_3(x)=x^3-\frac{3}{5}x \\ $

В литературе такие:
$\\ P_0(x)=1 \\ P_1(x)=x \\ P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x) \\$

[Otta]

Пространство уточните. Пространство, скалярное произведение (ортогонализация же) и все как-то станет на свои места само.

[nnosipov]

ktoto в сообщении #898063 писал(а):

Многочлены совпадают с точностью до константы, может после Грама-Шмидта нужна еще какая-то нормировка?

Да. Ведь Грам-Шмидт даёт только ортогональность.

[ktoto]

Otta в сообщении #898064 писал(а):

Пространство уточните. Пространство, скалярное произведение (ортогонализация же) и все как-то станет на свои места само.

Пространство функций на интервале $ [-1, 1]$, со скалярный произведением $<f,g> = \int^{1}_{-1} f(x)g(x) dx$, естественно оба набора многочленов ортогональны в $[-1, 1]$

-- 21.08.2014, 14:20 --

nnosipov в сообщении #898065 писал(а):

ktoto в сообщении #898063 писал(а):

Многочлены совпадают с точностью до константы, может после Грама-Шмидта нужна еще какая-то нормировка?

Да. Ведь Грам-Шмидт даёт только ортогональность.

Не напомните какая требуется нормировка?

[Otta]

Ну как, по норме Вашего скалярного произведения, по какой еще.

[nnosipov]

Нормировка (они разные бывают) может зависеть от задачи. Загляните в справочник Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

[Otta]

Уййй, да, это я сильно неправа, конечно. Сорри.

[ktoto]

Otta в сообщении #898069 писал(а):

Ну как, по норме Вашего скалярного произведения, по какой еще.

$||P_n||=\sqrt{\int\limits_{-1}^1 P_n^2(x)\,dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}$
Норма по скалярному произведению и нормировка элемента:
$\tilde P_n(x)=\frac{P_n(x)}{||P_n||}=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n(x)$ - нормировка литераторного случая.
Как бы да, но при такой нормировке Грам-Шмидтовских получим:
$\tilde P_2(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{2}} (3x^2 - 1)$
Поэтому вопрос и был задан на форуме.

[Vince Diesel]

Ну, в процессе ортогонализации получаются сногочлены со старшим коэффициентом $1$. А те, что преведены далее, удовлетворяют условию $P_n(1)=1$.

[ktoto]

Vince Diesel в сообщении #898090 писал(а):

Ну, в процессе ортогонализации получаются сногочлены со старшим коэффициентом $1$. А те, что преведены далее, удовлетворяют условию $P_n(1)=1$.

Действительно есть такое свойство, у "родных" многочленов, Спасибо.