Метрические пространства-2

[main.c]

Цитата:

4.9. Найдите такое метрическое пространство и два таких шара в нём, чтобы шар
большего радиуса содержался в шаре меньшего радиуса и не совпадал с ним.
4.10. Каково наименьшее число точек в том пространстве, которое требуется по-
строить в задаче 4.9?
4.11. Докажите, что в условиях задачи 4.9 больший радиус не превышает удвоен-
ного меньшего радиуса.

4.9. Возьмём на множестве (-1, 1) стандартную метрику.
Тогда $B_{1.5}(0.9) \subset B_1(0)$.
4.10. Ответить на этот вопрос сложнее, по идее у шаров обязательно должен быть разный центр, это значит уже 2 точки, и так как одно из них является собственнным подмножеством другого, должна быть как минимум ещё 1 точка, принадлежащая шару меньшего радиуса. В итоге минимум 3 точки, например на множестве $\{-\frac{9}{10}, 0, \frac{9}{10}\}$ можно взять те же самые шары: $B_{1.5}(0.9) \subset B_1(0)$. С 2 точками уже никак не получится, так ведь?

[main.c]

4.11. А тут у меня получилось доказать немного более сильное утверждение - $R < 2r$, а в условии - $R \leq 2r$, поэтому возникает вопрос, может ли $R = 2r$?

[demolishka]

main.c в сообщении #896538 писал(а):

С 2 точками уже никак не получится, так ведь?

$\rho (a,b)=\rho (b,a)$. Тут уж либо оба шара пустые, либо совпадают.

main.c в сообщении #896544 писал(а):

4.11. А тут у меня получилось доказать немного более сильное утверждение - $R < 2r$, а в условии - $R \leq 2r$, поэтому возникает вопрос, может ли $R = 2r$?

Для решения этой задачи у вас имеются только свойства метрики и ни в одном из этих свойств нет строгих неравенств. Так что откуда у вас строго меньше - непонятно.

[main.c]

demolishka в сообщении #896556 писал(а):

main.c в сообщении #896538 писал(а):

С 2 точками уже никак не получится, так ведь?

$\rho (a,b)=\rho (b,a)$. Тут уж либо оба шара пустые, либо совпадают.

main.c в сообщении #896544 писал(а):

4.11. А тут у меня получилось доказать немного более сильное утверждение - $R < 2r$, а в условии - $R \leq 2r$, поэтому возникает вопрос, может ли $R = 2r$?

Для решения этой задачи у вас имеются только свойства метрики и ни в одном из этих свойств нет строгих неравенств. Так что откуда у вас строго меньше - непонятно.

Пусть $ a_r $ и $a_R$ - центры шаров малого и большого радиуса соответственно. Пусть $x \in B_r(a_r)$, это значит, что $\rho (a_r, x) < r $. По условию задачи шар большего радиуса должен содержаться в шаре меньшего радиуса, это значит, что $a_R \in B_r(a_r)$ или $\rho (a_r, a_R) < r $. В итоге $\rho (x, a_R) \leq \rho (a_r, a_R) + \rho (a_r, x) < 2r $. Это означает, что если $R \geq 2r$, то $B_r(a_r) \subset B_R(a_R)$, чего быть не может, значит $R < 2r$.

[demolishka]

Если бы автор подразумевал открытый шар, то он бы так и написал. А так как написано просто шар, то подразумевается обычный, замкнутый. Отсюда и нестрогое неравенство, которое просят найти в задаче.

[mihaild]

demolishka в сообщении #896571 писал(а):

Если бы автор подразумевал открытый шар, то он бы так и написал. А так как написано просто шар, то подразумевается обычный, замкнутый. Отсюда и нестрогое неравенство, которое просят найти в задаче.

Если шар замкнутый, то получится $\rho (x, a_R) \leq \rho (a_r, a_R) + \rho (a_r, x) \leqslant 2r$, что всё равно влечет принадлежность замкнутому $B_R(a_R)$.