Метрические пространства.

[main.c]

$\rho^{(p)}: (x, y) \to (\sum\limits_{i = 1}^n |x_i - y_i|^p)^{1/p}, \ p \geq 1$
Докажите, что для любого $p \geq 1$ данная функция является метрикой.

1 и 2 аксиомы очевидны. Нужно доказать 3 аксиому. Она равносильна данному неравенству:
$(\sum\limits_{i = 1}^n |x + y|^p)^{1/p} \leq (\sum\limits_{i = 1}^n |x|^p)^{1/p} + (\sum\limits_{i = 1}^n |y|^p)^{1/p}$

Пока что я пришёл к тому, что это неравенство следует из вот этих двух неравенств:
(|x| + |y|)^{1/p} \leq (|x|^{1/p} + |y|^{1/p}), \ p \geq 1$
(|x| + |y|)^{p} \geq (|x|^{p} + |y|^{p}), \ p \geq 1$
Второе можно доказать вот так.
Если рассматривать левую и правую часть как $f(p), g(p)$ при ($x^2+y^2 \neq 0$), то можно сказать, что это монотонно возрастающие функции, для $p = 1$ неравенство очевидно, перейдя к пределу, получим:
$\lim\limits_{p \to +\infty} (|x| + |y|)^p \geq \lim\limits_{p \to +\infty} \max(|x|,|y|)^p $
Так как функции монотонны, это означает, что $f(p) \geq g(p), \ \forall p \geq 1$
Верны ли мои рассуждения? В целом, если верны, то можно не рассматривать эти два неравенства, а сразу применить те же самые рассуждения к искомому неравенству, доказав перед этим, что данные функции монотонно убывающие.

[Otta]

А так ли нужно доказывать неравенство Минковского?

[main.c]

Otta в сообщении #895705 писал(а):

А так ли нужно доказывать неравенство Минковского?

Ну у меня в книге не сказано, что это неравенство Минковского. Теперь буду знать. Смотреть готовое доказательство не охота, хотелось бы придумать самому. Оно доказывается одним единственным способом? Мои рассуждения абсолютно ошибочны?

[Otta]

Если это функциональный анализ, то Вам и не должны этого говорить. Считается, что Вы сами должны его узнавать.
Через Гёльдера можно доказать. Способ не единственный.

[Foxer]

main.c в сообщении #895703 писал(а):

Если рассматривать левую и правую часть как $f(p), g(p)$ при ($x^2+y^2 \neq 0$), то можно сказать, что это монотонно возрастающие функции

Если $x$ и $y$ малы, то никак не возрастающие. Вы конечно можете постараться доказать это "руками", но, боюсь, у Вас не получится.

[main.c]

Otta в сообщении #895709 писал(а):

Если это функциональный анализ, то Вам и не должны этого говорить. Считается, что Вы сами должны его узнавать.
Через Гёльдера можно доказать. Способ не единственный.

Нет, это не совсем функциональный анализ, это задача из книжки "Элементарная топология" О.Виро и др. В главе 4 метрические пространства даётся это задание. Мы ещё не изучали функан, поэтому я это неравенство и не узнал. Я бы мог конечно сейчас залезть в учебник по функану, найти доказательство, прочитать его, даже разобраться в нём, но гораздо интереснее самому прийти к решению. Может Вы дадите какую-нибудь подсказку?

[Otta]

main.c
Я это указала только как достаточное условие, чтобы предполагать, что Вы должны знать это неравенство.
А вообще оно рассказывается на первом курсе в хороших курсах матанализа. Можете в Зориче, например, глянуть, в томе первом, где-то не очень далеко от начала.

-- 13.08.2014, 02:20 --

main.c в сообщении #895713 писал(а):

Я бы мог конечно сейчас залезть в учебник по функану, найти доказательство, прочитать его, даже разобраться в нём, но гораздо интереснее самому прийти к решению. Может Вы дадите какую-нибудь подсказку?

Вы уж определитесь. А то смотрится как - я мог бы, но мне лень. )))
В Википедии посмотрите, если лень искать учебник. Там есть. Для интегралов. Для сумм сами сделаете, нет разницы.

[main.c]

Otta в сообщении #895714 писал(а):

main.c
Я это указала только как достаточное условие, чтобы предполагать, что Вы должны знать это неравенство.
А вообще оно рассказывается на первом курсе в хороших курсах матанализа. Можете в Зориче, например, глянуть, в томе первом, где-то не очень далеко от начала.

Нашёл, но там через неравенство Гёльдера, как Вы и говорили. Наврное это самое простое доказательство? Потому что поискав ещё по нескольким источникам, везде через Гёльдера доказвают. Вот только тогда мне нужно ещё Гёльдера теперь доказать)

-- 12.08.2014, 23:30 --

Otta в сообщении #895714 писал(а):

Вы уж определитесь. А то смотрится как - я мог бы, но мне лень. )))

Просто я хотел не прочитать доказательство, а самому додуматься, вот и не искал доказательства.

[Otta]

(Оффтоп)

main.c в сообщении #895716 писал(а):

Просто я хотел не прочитать доказательство, а самому додуматься, вот и не искал доказательства.

Тогда надо было додумываться. :)

Ну доказывайте Гельдера, раз уж решили, что надо.

[main.c]

Otta в сообщении #895717 писал(а):

(Оффтоп)

main.c в сообщении #895716 писал(а):

Просто я хотел не прочитать доказательство, а самому додуматься, вот и не искал доказательства.

Тогда надо было додумываться. :)

Ну доказывайте Гельдера, раз уж решили, что надо.

(Оффтоп)

Ну так я и просил подсказки)) А Вы отправили меня в учебник. Но все равно огромное Вам спасибо, нашёл в Зориче всё что нужно, у него там неравенство и Юнга, и Гёльдера, и других.

[Otta]

(Оффтоп)

Ну так что и требовалось. )) Не могу ж я Вам тут параграф из Зорича писать. )))

[ewert]

main.c в сообщении #895703 писал(а):

Нужно доказать 3 аксиому.

Полезно иметь в виду один простой и при этом принципиальный факт: выполнение неравенства треугольника для нормы (при условии, что положительность и однородность уже известны) равносильны тому, что единичный шар является выпуклым множеством. В двумерном случае этот шар задаётся неравенством $|x_1|^p+|x_2|^p<1$, а его границей в первой четверти будет, соответственно, график функции $x_2=(1-x_1^p)^{\frac1p}$. Ну и тупое двукратное дифференцирование немедленно даёт выпуклость этого графика именно вверх и именно при $p>1$, а вот при $p<1$ -- увы, наоборот.

[Lia]

Тема разделена, создана «Метрические пространства-2»
main.c
Не обсуждайте несколько малосвязанных задач в одной теме. Создавайте новые.