2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производящая функия для процессов рождения и гибели
Сообщение12.08.2014, 17:15 


12/10/12
134
Разбирал метод решения прямых уравнений Колмогорова для процессов рождения и гибели и дошел до абзаца:
Цитата:
Для производящей функции $F(s,t)=\sum_{x=0}^{+\infty}{P_{x}(t) \at s^{x}} $ прямые уравнения Колмогорова дают:
$\frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{t}}=(\lambda \at s^2 - (\lambda+\mu) \at s + \mu) \at \frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{s}}$
Общее решение этого уравнения дается формулой:
$F(s,t)=f(\frac {\mu-\lambda \at s}{1 - s} \at e^{-(\lambda-\mu) \at t})$
где $f(\at)$ - произвольная функция. Если положить $X(0)=x_{0}=1$, то $F(s,0)=s$, т. е.
$s=f(\frac {\mu-\lambda \at s}{1 - s})$
Следовательно,
$f(\xi)=\frac {\mu-\xi}{\lambda - \xi}$.
Поэтому
$F(s,t)=\frac {\mu \at (1-e^{(\lambda-\mu) \at t})-(\lambda-\mu \at e^{(\lambda-\mu) \at t}) \at s}{(\mu-\lambda \at e^{(\lambda-\mu) \at t})-\lambda \at (1-e^{(\lambda-\mu) \at t}) \at s}$

Из книги Баруча-Рида "Элементы теории марковских процессов" на странице 107 http://bookre.org/reader?file=579963&pg=107

1. Объясните, пожалуйста, как они нашли общее решение.
2. У меня случай похуже:
$\frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{t}}=a(s,t) \cdot \frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{s}} + b(s,t) \cdot F(s,t)
где $a(s,t), b(s,t)$ - некоторые функции.
Можно это как-то решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функия для процессов рождения и гибели
Сообщение13.08.2014, 00:27 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Читайте про уравнения в частных производных первого порядка. Обычно при них пишут в учебниках про обыкновенные дифференциальные уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функия для процессов рождения и гибели
Сообщение25.08.2014, 23:19 


12/10/12
134
Да, спасибо. Я посмотрел, вроде вроде понял. То уравнение не стал дорешивать. Оно было составлено не правильно. Спустя две недели составил другое уравнение и снова вернулся к разбору этого примера. Мое решение не сходится с тем, что в учебнике. Не могли бы Вы подсказать?

$\frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{t}}=(\lambda \at s^2 - (\lambda+\mu) \at s + \mu) \at \frac {\partial{F(s,t)}} {\partial{s}}$
Общее решение этого уравнения дается формулой:
$F(s,t)=f(\frac {\mu-\lambda \at s}{1 - s} \at e^{-(\lambda-\mu) \at t})$, где $f(\at)$ - любая дифференцируемая функция.

Я решаю так:
$\frac{dt}{ds}=\frac{-1}{\lambda \at s^2 - (\lambda + \mu) \at s + \mu} $
$dt=-1 \at (\frac{\lambda}{\lambda - \mu} \at \frac{ds}{\lambda \at s - \mu}-\frac{1}{\lambda - \mu} \at \frac{ds}{s - 1}) $
$t=\frac{1}{\lambda-\mu} \at \ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}) + C$
$(\lambda-\mu) \at t=\ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}) + C$ Обозначим эту формулу $(1)$.
$(\lambda-\mu) \at t - \ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}) = C$
Ответ:
$F(s,t)=f((\lambda-\mu) \at t - \ln(\frac{\lambda \at s - \mu}{s-1}))$

Я так полагаю, что в учебнике формулу (1) просто в экспоненциальную степень возвели. Но там же $C$ мешает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функия для процессов рождения и гибели
Сообщение26.08.2014, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Чему и каким образом оно мешает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функия для процессов рождения и гибели
Сообщение26.08.2014, 08:34 


12/10/12
134
Да, спасибо, подставил, все сошлось:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция для процессов рождения и гибели
Сообщение01.09.2014, 22:43 


12/10/12
134
Я по-прежнему продолжаю пересоставлять свои уравнения. Может Вы что-то подскажите?

У меня есть $k$ типов объектов. Количество объектов каждого типа - целое неотрицательное число. Известно количество объектов каждого типа в начальный момент времени. Объекты могут переходить друг в друга. И могут появляться новые (рождаться).
Требуется посчитать ковариацию между количествами объектов двух произвольных типов в момент времени $t$ (время непрерывно).

Интенсивности рождения равны $\lambda_1$, $\lambda_2$ и $\lambda_3$. Интенсивности переходов: $a_{i,j}$ (некоторые интенсивности нулевые). В начальный момент количество объектов каждого типа равно $b_i$.


Пусть нужно посчитать ковариацию количества объектов первых двух типов. Я хочу посчитать совместную вероятность $P_{n_1, n_2,...,n_k}$ того, что количество объектов каждого типа равно $n_i$. А после просуммировать по всем $n_i$ при $i>2$:
$P_{n_1, n_2,...,n_k}(t)=\sum_{n_3=0}^{+\infty}\sum_{n_4=0}^{+\infty}...\sum_{n_k=0}^{+\infty}P_{n_1, n_2,...,n_k}(t)$

Пример, пусть есть три типа объектов. Прямые уравнения Колмогорова:

$\frac{\partial P_{n_1 ,n_2, n_3}(t)}{\partial t}=\lambda_1 \at (n_1-1) \at P_{n_1-1, n_2, n_3}(t)+\lambda_2 \at (n_2-1) \at P_{n_1, n_2-1, n_3}(t) + \lambda_3 \at (n_3-1) \at P_{n_1, n_2, n_3-1}(t)+a_{1,2} \at (n_1+1) \at P_{n_1+1,n_2-1,n_3}(t)+a_{2,3} \at (n_2+1) \at P_{n_1,n_2+1,n_3-1}(t)-(\lambda_1 \at n_1+\lambda_2 \at n_2 + \lambda_3 \at n_3 + a_{1,2} \at n_1+ a_{2,3} \at n_2) \at P_{n_1, n_2, n_3}(t) $

Дальше я перехожу к производящей функции:

$\frac{\partial F(t,x,y,z)}{\partial t}=(\lambda_1 \at x^2-\lambda_1 \at x+a_{1, 2} \at y) \at \frac{\partial F(t,x,y,z)(t)}{\partial x}+(\lambda_2 \at y^2-\lambda_2 \at y+a_{2, 3} \at z) \at \frac{\partial F(t,x,y,z)}{\partial y} (\lambda_3 \at z^2-\lambda_3 \at z) \at \frac{\partial F(t,x,y,z)}{\partial z} $

Дальше я пользуюсь методом характеристик, нахожу решение в виде:
$F(t,x,y,z)=f(.,.,.)$
Пользуюсь начальным условием:
$F(0,x,y,z)=f(.,.,.)=x^{b_1} \at y^{b_2} \at z^{b_3}$

Но есть некоторые проблемы:
типов объектов у меня не 3, а 20, поэтому характеристики получаются сложными функциями, не понятно как их обратить, чтобы выполнялось граничное условие.

Я описал пример, чтобы Вы посмотрели в правильном ли я вообще направлении двигаюсь? Может есть какие-то альтернативные способы вывода?
Мне нужно посчитать либо $P_{n_1,n_2}(t)$ либо $E_{n_1,n_2}(t)$.

По идее если производящая функция $F(t,x_1,x_2,x_3,...,x_k)$, то надо посчитать: $ \frac {\partial^2 F(t,x_1,x_2,1,...,1)}{\partial x_1 \partial x_2} - это будет совместное математическое ожидание количеств объектов первого и второго типа.

Можете ли Вы что-нибудь предложить?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group