Хитрые свойства решений смешанной задачи

[the anion]

Здравствуйте! Возникли огромные трудности при решении следующей задачи.

Пусть $u(x,t)$ решение в $[0,\pi]\times\frac{}{\mathbb{R}_{+}}$ смешанной задачи $u_{xx}=u_{tt}, u|_{x=0}=u|_{x=\pi}=0,u|_{t=0}=sin^{100} x, u_{t}|_{t=0}=0$. Доказать, что $|u_{t}(x,\frac{\pi}{2})|>1$ на множестве, мера которого больше 1.

Я решал методом Фурье, получил решение в виде ряда. Из-за сложного начального условия абсолютно ничего о модуле производной сказать не могу. При подстановке $t=\frac{\pi}{2}$ в ряд, ничего не упрощается. Пытался воспользоваться неравенством Чебышева. На этом идеи закончились.

[sup]

А краевое условие точно при $x=1$? Или все-таки $x=\pi$?
Используйте нечетное продолжение по $x$ и метод характеристик.

[the anion]

sup в сообщении #894393 писал(а):

А краевое условие точно при $x=1$? Или все-таки $x=\pi$?
Используйте нечетное продолжение по $x$ и метод характеристик.

Насколько я знаю, метод характеристик для такого уравнения не упростит нам жизнь. Ведь решения в явном виде мы скорее всего не получим. Если можно, опишите подробнее, как применить метод характеристик, и что он нам даст?

Опечатку исправил, спасибо.

[sup]

the anion в сообщении #894395 писал(а):

Если можно, опишите подробнее, как применить метод характеристик

Ага, то есть это Вы мне предлагаете решить задачу?

the anion в сообщении #894395 писал(а):

Насколько я знаю, метод характеристик для такого уравнения не упростит нам жизнь.

Вы про формулу Даламбера что-нибудь слыхали?

[the anion]

sup в сообщении #894398 писал(а):

Вы про формулу Даламбера что-нибудь слыхали?

Слыхал. Еще слыхал, что она для задачи Коши. А у нас смешанная задача. Формулу Даламбера для смешанной задачи не знаю, где почитать?

Вообще эта задача из задачника http://new.math.msu.su/diffur/ZADACH.PDF. Имеет номер 3.34. Ее местоположение говорит о том, что решается она методом Фурье.

[sup]

Ну я же Вам посоветовал использовать нечетное продолжение ...

-- Пт авг 08, 2014 23:34:23 --

Насчет метода Фурье. Это Ваше дело каким методом решать задачу. Вы просили совет, я предложил наиболее простой способ (на мой взгляд, разумеется).

[the anion]

Подробно распишу мои попытки решения.

Из метода Фурье получаем общий вид решения: $u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin{nx}(A_n\cos{nt} + B_n \sin{nt})$

Из $u_t|_{t=0}=0$ имеем : $B_n=0$. Далее $A_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin^{100}{x}\sin{nx}dx$

Теперь $u_t(x,\frac{\pi}{2}) =\sum\limits_{n=1}^{\infty} -nA_n\sin{nx}\sin{n\frac{\pi}{2}}$

Осталось понять когда ее модуль больше 100(в условии опечатка,прошу прощения). Коэффициенты $A_n$ можно выписать явно, используя бета-функцию. Как сделать оценку для этого ряда, не знаю, жду Ваших предложений и советов.

[sup]

Я предлагаю свести Вашу задачу к задаче Коши на всей оси. Тогда будет применима формула Даламбера. Для этого нам надо так подобрать начальные данные при $x<0$ и $x>\pi$, чтобы решение задачи Коши совпало с решением смешанной задачи в цилиндре $0<x<\pi$. Для этого всего-то и надо - обеспечить условия $u|_{x=0} = u|_{x=\pi} =0$.
Давайте начнем с более простого примера. Пусть данные уже заданы на полуоси $x>0$. Вопрос. Как подобрать нач. данные при $x<0$ так, чтобы решение получившейся задачи Коши равнялось 0 в точке $x=0$? Идею, как это сделать я уже озвучивал. Таким образом мы "избавляемся" от стенки $x=0$. Аналогично можно разбираться и с $x = \pi$. Отмечу, что нам даже не надо продолжать нач. данные на всю ось. Достаточно продолжить на отрезок $(-\pi/2,3\pi/2)$. Но это уже прям предельный случай. На самом деле легко и просто получается продолжение на отрезок $(-\pi,2\pi)$.

Можно подойти к этой задаче и с другой стороны.
В чем суть метода характеристик? В том, что вдоль характеристик сохраняется либо $u_t+u_x$ либо $u_t-u_x$ (в зависимости от характеристики). А значит, выпуская характеристики из начальных данных, Вы можете получить значения $u_t+u_x$ и $u_t-u_x$ на стенках. А там $u=0$, значит и $u_t=0$, значит на стенках можно вычислить $u_x$. Теперь можно выпускать характеристики и со стенок. По сути это анализ отражения волн от стенок. Для $t = \pi /2$ достаточно всего одного отражения ...

Есть еще один способ решить Вашу задачу. Сосчитать ряд Фурье ... Это сделать можно. Заметим, что
$nA_n = n\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin^{100}{x}\sin{nx}dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\left ( \sin^{100}{x} \right )'\cos{nx}dx$
После этого остается сосчитать ряд
$\sum \cos (ny) \sin (nx)\sin (n\frac {\pi}{2})$
С помощью тригонометрии он сводится к ряду
$\sum \cos (nz) $
А это просто дельта-функция ( данный ряд - разложение по косинусам)

Три метода - более чем достаточно. Выбор за Вами.

[the anion]

Проделал первым способом и третьим. Получил $u_t(x,\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{4}(\sin^{100'}{(-x+\frac{\pi}{2})}+\sin^{100'}{(x-\frac{\pi}{2})}-\sin^{100'}{(-x-\frac{\pi}{2})}-\sin^{100'}{(-x+\frac{\pi}{2})})$

Большое Вам спасибо, правда первый способ мне показался намного сложнее, т.к. заранее непонятно до какого момента продолжать, а так это то же самое суммирование ряда.

Кому интересно решение, напишу третий способ:

$-\int\sin^{100'}{y}\sum\cos{ny}\sin{nx}\sin{n\frac{\pi}{2}} = -\int\sin^{100'}{y}\sum\cos{ny}\frac{1}{2}(\cos{n(x-\frac{\pi}{2})}-\cos{n(x+\frac{\pi}{2})})=-\int\sin^{100'}{y}\sum\frac{1}{4}(\cos{n(y+x-\frac{\pi}{2})}+\cos{n(y-x+\frac{\pi}{2})}-\cos{n(y+x+\frac{\pi}{2})}-\cos{n(y-x-\frac{\pi}{2})})=-\int\sin^{100'}\frac{1}{4}(\delta_{-x+\frac{\pi}{2}}+\delta_{x-\frac{\pi}{2}}-\delta_{-x-\frac{\pi}{2}}-\delta_{x+\frac{\pi}{2}})$