Сходимость итерационного ряда

[zrtj]

Здравствуйте.

Интересует такой вопрос: как решать задачи на сходимость итерационных рядов?
Например:
$x_{n+1} = x_{n} + \sin(x_{n})$
доказать что ряд сходится.

Как я понимаю, для начала надо найти замкнутую форму для этого ряда, потом применить один из признаков сходимости, так?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Sonic86]

Уточните вопрос:
1. Вы спрашиваете о сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$.
2. Вы спрашиваете о том, имеет ли последовательность $x_n$ предел.
?
Или "итерационный ряд" - это термин?
Кроме того, $x_0$ Вы не указали.

[Kort96]

А чему у Вас равно $x_0$? Вообще, если $x_0$ таково, что $\cos x_0<0$, то вы можете тупо сослаться на достаточное условие сходимости метода простых итераций, т.е. в данном случае при таких $x_0$ ваша последовательность будет сходиться к корню уравнения $\sin x=0$, наиболее близкому к $x_0$. Если же $\cos x_0\ge0$, то можете попробовать доказать (хотя не знаю всегда ли это так), что на некоторой k-й итерации $\cos x_k<0$ и снова сослаться на достаточное условие.

Редакция: Прошу прощения, не увидел пост другого участника

[ИСН]

zrtj в сообщении #893896 писал(а):

для начала надо найти замкнутую форму для этого ряда, потом применить один из признаков сходимости, так?

Так-то оно так (может быть), только найти замкнутую формулу не получится. Совсем.

[zrtj]

$x_{0} > 0$ - условие к данной задачи.

Sonic86 в сообщении #893920 писал(а):

Или "итерационный ряд" - это термин?

Имеется в виду, что следующий член ряда зависит от предыдущего, а не от номера.

ИСН в сообщении #894036 писал(а):

Так-то оно так (может быть), только найти замкнутую формулу не получится. Совсем.

Как быть в данной ситуации?

[Sonic86]

zrtj, Вы на вопрос не ответили:

Sonic86 в сообщении #893920 писал(а):

Уточните вопрос:
1. Вы спрашиваете о сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$.
2. Вы спрашиваете о том, имеет ли последовательность $x_n$ предел.
?

zrtj в сообщении #894157 писал(а):

Имеется в виду, что следующий член ряда зависит от предыдущего, а не от номера.

Про зависимость коню понятно, неясно только, у Вас ряд или просто последовательность?

[Sashamandra]

Sonic86 в сообщении #894205 писал(а):

у Вас ряд или просто последовательность?

Последовательность. Ряд везде расходится, кроме $\[x(0) = 0\]$.

Последовательность сходится при любом $\[x(0)\]$. Пределы легко находятся из уравнения $\[x = x + \sin (x)\]$.

Например, при $\[0 < x(0) < 2\pi \]$ последовательность сходится к $\[\pi \]$.

При $\[0 < x(0) < \pi \]$ сходимость будет снизу, а при $\[\pi < x(0) < 2\pi \]$ сходимость будет сверху.

Доказательство сходимости например при $\[0 < x(0) < \pi \]$.
1. Доказать, что последовательность монотонно возрастает.
2. Доказать, что последовательность ограничена сверху числом $\[\pi \]$.

PS
Да, и спасибо за задачу. Вспомнил молодость.