Дифференциальные уравнения

[StaticZero]

Сборник Филиппова, 71 задача.

Цитата:

Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, постоянна и равна $a^2$.

Вопрос: пусть заданная кривая $\Gamma$, тогда $\forall (x, y) \in \Gamma \ \dfrac{1}{2}xy = a^2$. Берём любой $x$, ему соответствует точка касания $y$. Но тогда искомая кривая $\Gamma = \{(x, y) | xy = 2a^2\}$
И причем здесь дифференциальные уравнения тогда? Не могу понять.

[gris]

А разве не такой треугольник?

[StaticZero]

Формулировка просто кривая, спасибо gris за пояснение. Попробую решить.

[StaticZero]

Вот, напейсал.

Пусть $x_0$ - точка пересечения касательной и оси абсцисс.
$x, y$ - любые точки.

$y(x-x_0) = 2a^2$

(Условимся, что мы находимся в $1$ координатной четверти, так проще.).

Пусть $f(x)$ - касательная.

$f(x) = y + \dot{y}(x - x_0) = 0$

$(x - x_0) = -\dfrac{y}{\dot{y}}$

$-\dfrac{y^2}{\dot{y}} = 2a^2$

$-\dfrac{dx}{2a^2} = \dfrac{dy}{y^2}$

$\dfrac{x}{2a^2} + C = \dfrac{1}{y}$

$y(x + C) = 2a^2$

$y = \dfrac{2a^2}{x + C}$

[ИСН]

Треугольник может откладываться с разных сторон, поэтому ещё $\pm$. Остальное вроде так.