Московская городская студенческая олимпиада 2007 г. 1 курс

[metall]

1. Найти ранг матрицы A = (a_ij) размера n*n (n>=3), где a_ij = i + j - 2*i*j.
2. Вычислить lim ((1/x^6)*integral(sqrt(1+t^4), 1, x^2), x->infty).
3. Moжно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся бесконечные подмножестваа A_1, A_2, ... такие, что для каждого i сумма двух или большего числа элементов множества A_i не является простым числом?
4. Дифференцируемая функция f(x) такова, что f(a)=f(b)=0. Доказать, что существует точка c, принадлежащая (a, b), такая, что f'(c) = f(c).

[Macavity]

metall писал(а):

ИСТИНЫ НЕТ

Ага, и тегом math Вы тоже пользоваться не умеете...

Вроде бы так, если нет сообщите или исправьте...


1. Найти ранг матрицы A = (a_{ij})размера n*n (n>=3),где a_{ij} = i + j - 2ij.

2. Вычислить
\lim\limits_{x \to \infty} (\frac{1}{x^6})\int_1^{x^2}\sqrt{1+t^4}dt
3. Moжно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся бесконечные подмножестваа A_1, A_2, ...такие, что для каждого i сумма двух или большего числа элементов множества A_iне является простым числом?
4. Дифференцируемая функция f(x) такова, что f(a)=f(b)=0. Доказать, что существует точка c, принадлежащая (a, b), такая, что f'(c) = f(c).

[Руст]

Слишком тривиальные задачи для студенческой городской олимпиады. Раньше мы давали более сложные задачи даже для олимпиады в техническом вузе.

[metall]

Macavity писал(а):

metall писал(а):

ИСТИНЫ НЕТ

Ага, и тегом math Вы тоже пользоваться не умеете...

Вроде бы так, если нет сообщите или исправьте...


1. Найти ранг матрицы A = (a_{ij})размера n*n (n>=3),где a_{ij} = i + j - 2ij.

2. Вычислить
\lim\limits_{x \to \infty} (\frac{1}{x^6})\int_1^{x^2}\sqrt{1+t^4}dt
3. Moжно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся бесконечные подмножества A_1, A_2, ...такие, что для каждого i сумма двух или большего числа элементов множества A_iне является простым числом?
4. Дифференцируемая функция f(x) такова, что f(a)=f(b)=0. Доказать, что существует точка c, принадлежащая (a, b), такая, что f'(c) = f(c).

ага, всё правильно, извините, что не воспользовался тегом )
кстати, участвует ли в таких олимпиадах мехмат?

[Руст]

metall писал(а):

кстати, участвует ли в таких олимпиадах мехмат?

Думаю, что нет. Ответы на задачи 1,2,4 приходят на ум уже к моменту прочтения условия задачи. Для включения 1 в третьей задаче в бесконечное множество указанного вида требуется подумать 1-2 мин.

[Macavity]

Руст писал(а):

metall писал(а):

кстати, участвует ли в таких олимпиадах мехмат?

Думаю, что нет. Ответы на задачи 1,2,4 приходят на ум уже к моменту прочтения условия задачи. Для включения 1 в третьей задаче в бесконечное множество указанного вида требуется подумать 1-2 мин.

Мне кажется, что третья задача не сложнее остальных. Разве решето Эратосфена это не прямое указание как эти множества строить (с небольшими дополнениями)?

[Руст]

Она была бы такой же тривиальной, если бы исключили 1 из натурального ряда, нумеровали множества по простым числам. В первое множество включили бы все чётные, во второу все делящууся на 3, но не делящееся на 2 и т. д. Чтобы этот процесс проходил с участием 1, вначале надо построит первое множество, включающее 1,которое строится по индукции. Именно это потребовало у меня задуматься 1-2 мин.

[neo66]

Цитата:

4. Дифференцируемая функция f(x) такова, что f(a)=f(b)=0. Доказать, что существует точка c, принадлежащая (a, b), такая, что f'(c) = f(c).

Поскольку эта задача потребовала у меня чуть больше времени на решение, чем у других, напишу решение.

Без ограничения общности можно считать, что $f(x)>0, x\in (a,b)$. Рассмотрим дифференцируемую функцию $g(x)=f(x)- \int_a^x f(t)dt $. Ясно, что $g'(a)>0, g'(b)<0$. Поэтому, по теореме Дарбу, найдется точка $c \in (a,b)$, такая, что $g'(c)=0$.

[Юстас]

V zadache 3 mojno ispol'zovat teoremu Vilsona o tom shto $(p-1)!+1=0(mod \ p)$. Togda mnojestvo s edinitsei stroitsya ochevidno: $\{1, 4!, 6!,\cdots\, (p_n-1)!,\cdots \}$.

[Руст]

Да, оригинально.
Я исходил из индукции, если построены n членов этой последовательности, то взяв 2^n простых чисел больше суммы первых n чисел, наложим на n+1 число чтобы сумма этого числа с суммой соответствующего подмножества делилась на соответствующее простое число (очень быстро растущая последовательность, каждый член больше суммы всех предыдущих).
К Neo. Берите $f(x)e^{-x}$ и используйте, что в некоторой точке производная равна нулю. Как видно и думать не надо.

[neo66]

Руст писал(а):

Берите $f(x)e^{-x}$ и используйте, что в некоторой точке производная равна нулю. Как видно и думать не надо.

Клево!

Добавлено спустя 5 минут 3 секунды:

Цитата:

1. Найти ранг матрицы A = (a_{ij})размера n*n (n>=3),где a_{ij} = i + j - 2ij.

2. Вычислить
\lim\limits_{x \to \infty} (\frac{1}{x^6})\int_1^{x^2}\sqrt{1+t^4}dt

1) Ранг = 2.
2) $\frac{1}{3}$