Логико-математическая символика. Кванторы

[kis]

1) \forall x (B \Rightarrow A) - эта запись означает - для всех $x$ таких что выражение $B \Rightarrow A$ истинно?



2) Не понял определение оператора подстановки.
$ \forall y(y= \varphi \Rightarrow \forall x(x=y \Rightarrow A))$. Объясните, пожалуйста, поподробнее человеческим языком.

p.s. то что изображено на скриншотах - это вводная лекция по курсу линейной алгебры с целью познакомить студентов с математической логикой. то есть в этой лекции изложение ведется фрагментарно и на физическом уровне строгости. То есть я не знаком с математической логикой, мне нужно понять базовые вещи, о которых рассказывается в лекции

[Munin]

kis в сообщении #893565 писал(а):

1) \forall x (B \Rightarrow A) - эта запись означает - для всех $x$ таких что выражение $B \Rightarrow A$ истинно?

Нет. Эта запись читается как полное предложение. "Для всех $x$ утверждение $B\Rightarrow A$ истинно."

Эквивалентно, "Для всех $x,$ для которых истинно утверждение $B,$ утверждение $A$ истинно."

-- 06.08.2014 00:12:13 --

kis в сообщении #893565 писал(а):

2) Не понял определение оператора подстановки.
$ \forall y(y= \varphi \Rightarrow \forall x(x=y \Rightarrow A))$. Объясните, пожалуйста, поподробнее человеческим языком.

Что-то замудрённое. "Для любого $y,$ равного $\varphi,$ истинно, что для любого $x,$ равного $y,$ истинно $A.$" По сути, это то же самое, что "Для любого $x,$ равного $\varphi,$ истинно $A$" - то есть, вместо $x$ (входящего в $A$ как какой-то параметр) подставляется выражение $\varphi.$ Вторая переменная, видимо, добавлена для того, чтобы не запутаться в случае, когда $x$ также входит как переменная и в выражение $\varphi.$ Больше никакого смысла в ней нет, из результата она "выпадает".

[kis]

спасибо!